Pole trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg

sennheiser · Post autor: **sennheiser** » 2 cze 2011, o 19:00

Proszę o pomoc w rozwiązaniu dwóch zadań.
1. Oblicz pole trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o równaniu:
\(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}+2x-7=0}\)

2. Odcinek o końcach A=(-1,2), B=(3,0) jest bokiem trójkąta równobocznego. Oblicz współrzędne punktu c.

Matematyk ze mnie słaby, więc proszę o jakieś choć minimalne wytłumaczenie dlaczego tak a nie inaczej.

Crizz · Post autor: **Crizz** » 2 cze 2011, o 19:12

1. Zacznij od przedstawienia równania okręgu w postaci kanonicznej \(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\). Wzór na długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym to już powinieneś znać (albo znaleźć w podręczniku).

2. Zacznij od wyznaczenia symetralnej odcinka \(\displaystyle{ AB}\). Szukany punkt będzie do niej należał. Następnie możesz wykorzystać fakt, że \(\displaystyle{ |AB|=|AC|}\) (zapisz inaczej tę równość, korzystając ze wzoru na odległość dwóch punktów).

sennheiser · Post autor: **sennheiser** » 2 cze 2011, o 19:35

1. A tu tego nie za bardzo umiem..

2. Symetralna \(\displaystyle{ AB=(1,2)^}\)
Wzór: \(\displaystyle{ \sqrt{ \left( x_{2} - x_{1} \right) ^{2} + \left( y_{2} - y_{1} \right) ^{2} }}\)
Podstawiając wyjdzie \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)

Crizz · Post autor: **Crizz** » 2 cze 2011, o 19:58

Symetralna to nie punkt, tylko prosta.

Podpowiedź do pierwszego:

\(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}+2x-7=(x^2+2x+1)+y^2-8=...}\)

sennheiser · Post autor: **sennheiser** » 2 cze 2011, o 20:22

To symetralna wyszła \(\displaystyle{ y=-x + 2}\) ?

A tego jak dalej nie rozumiałem tak dalej nie rozumiem, przyjdzie mi całą noc siedzieć by zaliczyć to jutro

piti-n · Post autor: **piti-n** » 2 cze 2011, o 22:12

To Punkt C ma współrzędne (x;-x+2). Oblicz długość prostej AB.
\(\displaystyle{ \sqrt{(3+1) ^{2}+(0-2) ^{2} }= \sqrt{20}}\)

Teraz obliczamy Punkt C

\(\displaystyle{ \sqrt{(x-3) ^{2}+(-x+2-0) ^{2} }= \sqrt{20}}\)

\(\displaystyle{ x ^{2}-6x+9+x ^{2}-4x+4=20}\)
\(\displaystyle{ 2x ^{2}-10x-7=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=...}\)
I powinny Ci wyjść dwa wyniki...

sennheiser · Post autor: **sennheiser** » 2 cze 2011, o 22:45

\(\displaystyle{ AB= \sqrt{20}= \sqrt{20}}\)

\(\displaystyle{ \Delta=14}\)

piti-n · Post autor: **piti-n** » 2 cze 2011, o 22:57

Ja fakt faktem pokaleczyłem strasznie tą deltę teraz widzę i poprawiam ale jak Ci wyszła ona 14 to ja nie wiem?

Crizz · Post autor: **Crizz** » 2 cze 2011, o 22:59

piti-n,

piti-n pisze:Oblicz długość prostej AB.

Hmmm...

sennheiser, wydaje mi się, że symetralna nie jest dobrze obliczona. Najlepiej pokaż, jak liczysz. Dalsza wskazówka do pierwszego: wzór skróconego mnożenia.

piti-n · Post autor: **piti-n** » 2 cze 2011, o 23:03

Crizz pisze:piti-n,

piti-n pisze:Oblicz długość prostej AB.
Hmmm...

Zmęczenie... Oczywiście chodziło o odcinek... Co do symetralnej to założyłem że dobrze jest, nie sprawdzałem...

sennheiser · Post autor: **sennheiser** » 2 cze 2011, o 23:04

zgodnie z

Crizz · Post autor: **Crizz** » 2 cze 2011, o 23:09

Ja nie wątpię, że metoda tam podana jest dobra, co tym bardziej oznacza, że robisz jakiś błąd w obliczeniach albo w rozumowaniu. Sprawdź jeszcze raz obliczenia, a jeśli chcesz, to pokaż je nam, spróbujemy razem znaleźć błąd.

sennheiser · Post autor: **sennheiser** » 2 cze 2011, o 23:14

\(\displaystyle{ y=2x+0}\) ?

piti-n · Post autor: **piti-n** » 2 cze 2011, o 23:19

1) ta funkcja na pewno nie może być rosnąca
2)Ta funkcja na pewno nie przechodzi przez środek ukł. współrzędnych

Oblicz ją budując ukł. równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=ax+b \\ y=ax+b \end{cases}}\)

i podstawiając wpółrzędne tych punktów które masz podane. Wyjdzie Ci a i b tego równania które masz otrzymać

3)I nawet jak policzyłeś y=2x to jak Ci wyszła symetralna y=-x+2?

Crizz · Post autor: **Crizz** » 2 cze 2011, o 23:49

sennheiser pisze:\(\displaystyle{ y=2x+0}\) ?

Rozumiem, że skorzystałeś ze wcześniej wyznaczonego środka \(\displaystyle{ AB}\), czyli \(\displaystyle{ (1,2)}\). Zauważ jednak, ze ten punkt jest wyznaczony źle (drugą współrzedną powinno być \(\displaystyle{ \frac{0+2}{2}=1}\)). Poprawnym równaniem będzie \(\displaystyle{ y=2x-1}\).

OK, w takim razie współrzędne punktu \(\displaystyle{ C}\) możesz zapisać jako \(\displaystyle{ (x,2x-1)}\). Dokończ zadanie metodą, którą pokazał wcześniej piti-n.