uzasadnij że 2 odcinki są równoległe

[grg Soap]

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M, N są
odpowiednio środkami boków AB i CD. Punkty P, Q są odpowiednio środkami przekątnych
AC i BD. Uzasadnij, że MQ\(\displaystyle{ \left| \right|}\) PN . To jest zadanie z poziomu rozszerzonego tegorocznej matury, chciałbym je rozwiązać ale na wektorach tzn. chce udowodnić że \(\displaystyle{ \vec{MQ}}\) i \(\displaystyle{ \vec{PN}}\) mają takie same wartości albo że są do siebie proporcjonalne, czy ktoś mógłby mi udzielić wskazówek jak to udowodnić? z góry dziękuję za pomoc

[aalmond]

Współrzędne wektorów są środkami pewnych odcinków. Iloczyn wektorowy równa się zero.

[grg Soap]

czyli jeśli \(\displaystyle{ \vec{BM}}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)\(\displaystyle{ \vec{BA}}\) i \(\displaystyle{ \vec{cn}}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)\(\displaystyle{ \vec{CD}}\) to \(\displaystyle{ \vec{MQ}}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ \vec{CD}}\)? to samo zapisuje do wektora \(\displaystyle{ \vec{PN}}\) i mam gotowe zadanie?

[aalmond]

I sposób
Weźmy pod uwagę trójkąt ABD. Jeżeli punkt M jest środkiem boku AB, a punkt Q środkiem boku BD, to wektor \(\displaystyle{ \vec{MQ}}\) jest równoległy do boku AD.
A teraz trójkąt ACD. Trójkąty ABD i ACD mają wspólny bok AD. Wykaż, że wektor \(\displaystyle{ \vec{PN}}\) jest również równoległy do boku AD a więc równoległy do wektora \(\displaystyle{ \vec{MQ}}\)

II sposób
współrzędne punktu \(\displaystyle{ M = ( \frac{x_{A} + x_{B} }{2}; \frac{y_{A} + y_{B} }{2})}\)
współrzędne punktu \(\displaystyle{ Q = ( \frac{x_{B} + x_{D} }{2}; \frac{y_{B} + y_{D} }{2})}\)
Utwórz wektor \(\displaystyle{ \vec{MQ}}\)
Podobnie zrób z wektorem \(\displaystyle{ \vec{PN}}\)
Porównaj współrzędne tak utworzonych wektorów.

[grg Soap]

wielkie dzięki za pomoc w tym zadaniu