Najmniejsze pole trójkąta, punkt na paraboli

[bliznieta07129]

Dane są punkty \(\displaystyle{ A(1,-2), B(3,-1)}\). Na paraboli \(\displaystyle{ y = x ^{2}}\) znaleźć punkt C, tak aby pole trójkąta ABC było najmniejsze z możliwych. Obliczyć to pole.

[Pancernik]

Równanie prostej \(\displaystyle{ k}\) przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2=a+b\\ -1=3a+b\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a= \frac{1}{2} \\ b=- \frac{5}{2} \end{cases}\\
k:y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\\
k: x-2y-5=0}\)

Współrzędne punktu \(\displaystyle{ C}\) leżącego na paraboli \(\displaystyle{ y=x^2}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases}C=\left(x,y\right)\\
y=x^2\end{cases} \Rightarrow C=\left(x,x^2 \right)}\)

Odległość punktu \(\displaystyle{ C}\) od prostej \(\displaystyle{ k}\) wyznaczymy ze wzoru \(\displaystyle{ d\left( C,k\right) = \frac{\left| Ax+By+C\right| }{ \sqrt{A^2+B^2} }}\):
\(\displaystyle{ d= \frac{\left| 1 \cdot x-2 \cdot x^2-5\right| }{ \sqrt{1^2+2^2} }= \frac{\left| -2x^2+x-5\right| }{ \sqrt{5} }= \left| - \frac{ 2\sqrt{5}}{5}x^2+ \frac{\sqrt{5}}{5} x-\sqrt{5}\right|}\)

Obliczamy najmniejszą wartość otrzymanej funkcji ze wzoru \(\displaystyle{ q= \frac{-\Delta}{4a}}\), ponieważ ta funkcja jest parabolą bo \(\displaystyle{ \Delta < 0}\):
\(\displaystyle{ \Delta=\left( \frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2-4 \cdot \left( - \frac{ 2\sqrt{5}}{5}\right) \cdot \left( -\sqrt{5}\right)=- \frac{39}{5}\\
q= \frac{-\left( - \frac{39}{5}\right) }{4 \cdot \left( - \frac{ 2\sqrt{5}}{5}\right) } =- \frac{39 \sqrt{5} }{40}}\)

Funkcja wyznaczająca odległość jest obłożona modułem, to \(\displaystyle{ q}\) też musimy obłożyć modułem:
\(\displaystyle{ q=\left| \frac{-\Delta}{4a}\right|\\
q=\left| - \frac{39 \sqrt{5} }{40} \right|= \frac{39 \sqrt{5} }{40}}\)

\(\displaystyle{ q}\) jest to szukana wysokość trójkąta, a podstawą jest odległość między punktami \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\):
\(\displaystyle{ P= \frac{ah}{2}\\
h=q\\
a= \sqrt{\left( x_A-x_B\right)^2+ \left( y_A-y_B\right)^2}\\
a= \sqrt{\left( 1-3\right)^2+ \left( -2+1\right)^2}= \sqrt{5}\\
P= \frac{\sqrt{5} \cdot \frac{39 \sqrt{5} }{40}}{2} = \frac{39}{32}}\)

[Vax]

Na końcu jest błąd rachunkowy, minimalne pole powinno wynieść \(\displaystyle{ \frac{39}{16}}\). Znacznie prościej można to wyznaczyć w ten sposób, punkt C ma współrzędne \(\displaystyle{ C(x;x^2)}\) licząc pole trójkąta z wyznaczników otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \vec{AB} = [2;1] \wedge \vec{AC} = [x-1;x^2+2]}\)

\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}|det(\vec{AB},\vec{AC})| = \frac{1}{2}|2x^2+4-x+1| = \frac{1}{2}|2x^2-x+5|}\)

Aby znaleźć najmniejszą wartość musimy znaleźć minimum \(\displaystyle{ 2x^2-x+5}\), to minimum zajdzie dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{4}}\), czyli dla \(\displaystyle{ C(\frac{1}{4};\frac{1}{16})}\) pole będzie najmniejsze, wyniesie \(\displaystyle{ \frac{39}{16}}\)

Pozdrawiam.

[Pancernik]

No tak, zamiast podzielić przez \(\displaystyle{ 2}\), podzieliłem przez \(\displaystyle{ 4}\)