punkt przeciecia elipsy i prostej

miszka6 · Post autor: **miszka6** » 24 maja 2011, o 19:16

Muszę wyznaczyć punkt przecięcia elipsy i prostej,

elipsa dowolnie umiejscowiona w układzie współrzędnych, tzn. że nie mogę skorzystać ze standardowego wzoru
$\displaystyle{ \frac{ x^{2} }{ a^{2} } + \frac{ y^{2} }{ b^{2} } = 1}$,
który dotyczy tylko elipsy o środku w punkcie (0,0) układu współrzędnych.

Żeby to obejść znalazłem:
$\displaystyle{ \frac{ (x-x _{0}) ^{2} }{ a^{2} } + \frac{ (y-y _{0}) ^{2} }{ b^{2} } = 1}$,
ale jak poradzić sobie z nachyleniem elipsy pod kątem?

Wzór na prostą: Ax+By+C=0

z Wyznaczeniem współczynników do równania kwadratowego nie powinienem mieć problemu ale z jakiego równania elipsy powinienem skorzystać?

anna_ · Post autor: **anna_** » 24 maja 2011, o 20:33

Nie bardzo rozumiem.
Jeżeli szukasz punktów przecięcia elipsy z prostą, to musisz mieć dane równanie tej elipsy i prostej.

Chyba, ze szukasz ogólnego równania elipsy, nachylonej do osi pod jakimś tam kątem.

miszka6 · Post autor: **miszka6** » 24 maja 2011, o 20:43

już tłumaczę

piszę program,

elipsę mam daną w postaci:
x1, y1 - współrzędne środka elipsy
x2, y2 - współrzędne wierzchołka elipsy
z - stosunek b/a
z tych danych mogę wyznaczyć wielkość a i b

Także na podstawie tych danych chcę wyznaczyć równanie, które pozwoli stworzyć jakiś układ równań

z drugiej strony mam równanie prostej
y=Ax+By+C

anna_ · Post autor: **anna_** » 24 maja 2011, o 20:49

Mógłbyś podać mi przykładowe dane?
Chciałabym coś sprawdzić.

miszka6 · Post autor: **miszka6** » 24 maja 2011, o 20:55

10,10 - współrzędne środka elipsy
15,15 - współrzędne wierzchołka elipsy
0,5 - stosunek b/a

Prosta: -0,5x+y-5=0

Teraz wymyśliłem, mam nadzieję że się przecinają

anna_ · Post autor: **anna_** » 25 maja 2011, o 01:51

Zaznaczam, że nie znam się na programowaniu.

$\displaystyle{ \alpha}$ - kąt obrotu elipsy

(Mając dane punkty
$\displaystyle{ x_1, y_1}$ - współrzędne środka elipsy
$\displaystyle{ x_2, y_2}$ - współrzędne wierzchołka elipsy
szukasz wspłczynnika kierunkowego prostej przechodzącej przez te dwa punkty, czyli $\displaystyle{ tg\alpha}$
Jeżeli jest taka możliwość liczysz kąt $\displaystyle{ \alpha}$
Jeżeli nie, to:
Mając dany $\displaystyle{ tg\alpha}$, liczysz $\displaystyle{ sin\alpha}$ i $\displaystyle{ cos\alpha}$

Równanie elipsy będzie postaci:
$\displaystyle{ \frac{[(x-x_1)cos\alpha-(y-y_1)sin\alpha]^2}{a^2} + \frac{[(x-x_1)sin\alpha+(y-y_1)cos\alpha]^2}{b^2} =1}$

Potem rozwiązujesz tylko układ równań.
Mam nadzieję, że się nigdzie nie pomyliłam.

miszka6 · Post autor: **miszka6** » 25 maja 2011, o 13:43

hej anna_, nawet jak nie będzie działało to jesteś Wielka
pomęczę się dzisiaj z tym i później odpiszę

anna_ · Post autor: **anna_** » 25 maja 2011, o 15:42

Zapomniałam napisać, że musisz brać pod uwagę kierunek obrotu elipsy, czyli czy obraca sę zgodnie ze wskazówkami zegara czy przeciwnie. (przynajmniej tak mi się wydaje)

miszka6 · Post autor: **miszka6** » 31 maja 2011, o 00:24

miałem wymuszoną przerwę od tej części programu, ale przyszła pora żeby do tego wrócić...

mam układ równań:

$\displaystyle{ \frac{[(x-x_1)cos\alpha-(y-y_1)sin\alpha]^2}{a^2} + \frac{[(x-x_1)sin\alpha+(y-y_1)cos\alpha]^2}{b^2} =1}$

Ax + By + C = 0

z drugiego dostaję: y = $\displaystyle{ \frac{-Ax - C}{B}}$

Przekształcam pierwsze równanie i otrzymuję współczynniki, niestety dla przykładu oczywistego w którym na pewno prosta przecina się z elipsą delta jest ujemna ;/

prosta:
$\displaystyle{ y=x}$
$\displaystyle{ -1x +1y + 0 = 0}$
$\displaystyle{ A=-1, B=1, C=0}$
elipsa:
środek w punkcie 10, 10, półosie a=5, b=2.5, nachylenie 45stopni

anna_ · Post autor: **anna_** » 31 maja 2011, o 00:46

Po uproszeniu równania elipsy wyszło mi:

$\displaystyle{ \frac{5x^2 + 2x(3y - 80) + 5y^2 - 160y + 1600}{50} =1}$

Z rozwiązania układu wychodzi mi

$\displaystyle{ ( \frac{5 \sqrt{2} }{4} +10;\frac{5 \sqrt{2} }{4} +10)}$
i
$\displaystyle{ ( 10-\frac{5 \sqrt{2} }{4};10-\frac{5 \sqrt{2} }{4} )}$

$\displaystyle{ \begin{document}
\newrgbcolor{ffwwww}{1 0.4 0.4}
\newrgbcolor{wwwwff}{0.4 0.4 1}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1)(10,9)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.1,-1)(10,9)
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.3cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.19,-2)(20,18)
\rput{-45}(10,10){\psellipse[linecolor=ffwwww](0,0)(5,2.5)}
\psplot[linecolor=wwwwff]{-2.19}{20}{(-0--1*x)/1}
\psdots[linecolor=darkgray](8.23,8.23)
\rput[bl](8.43,8.49){\darkgray{$(8.23, 8.23)$}}
\psdots[linecolor=darkgray](11.77,11.77)
\rput[bl](11.94,12.05){\darkgray{$(11.77, 11.77)$}}
\end{pspicture*}
\end{document}}$

miszka6 · Post autor: **miszka6** » 31 maja 2011, o 01:17

jeśli Tobie wyszło, tzn że moje współczynniki równania są źle wyznaczone... ehhh ;/

anna_ · Post autor: **anna_** » 31 maja 2011, o 01:18

Przyznaję, że nie liczyłam tego ręcznie. Pomógł mi program.

miszka6 · Post autor: **miszka6** » 31 maja 2011, o 01:28

dzięki, jutro spróbuję je poprawić

anna_ · Post autor: **anna_** » 1 cze 2011, o 21:41

Ponieważ zauważyłam, że wzór, który podałam wcześniej obraca elipsę nie w tę stronę co trzeba, poprosiłam o pomoc pewnego miłego pana o nicku florek177.

Ten wzór obraca ją jak trzeba:
$\displaystyle{ \frac{[(x-x_1)cos\alpha+(y-y_1)sin\alpha]^2}{a^2} + \frac{[(x-x_1)sin\alpha-(y-y_1)cos\alpha]^2}{b^2} =1}$

Dziękuję za pomoc.

miszka6 · Post autor: **miszka6** » 4 cze 2011, o 14:13

hehe, dzięki zauważyłem to, drobnostka
wystarczy odpowiednio zmieniać kąt, ale dzięki za poprawiony wzór

wciąż jednak nie mogę odpowiednich współczynników wyznaczyć ;/ męczące obliczenia zajmują 3 strony A4 i znowu lipa