Pilnie potrzebuję to na jutro. Czy ktoś wie jak to zrobić?
Wykazać, że w dowolnym trójkącie:
a) symetralne 3 boków przecinają się w jednym punkcie
b) środkowe trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie
c) dwusieczne trzech kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie
d) trzy proste zawierające wysokości trójkąta przecinają sięw jednym punkcie
Wykaż ... (trójkąt)
-
Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
Wykaż ... (trójkąt)
Osie symetrii wszystkich trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
Dowód:
Niech będzie dany trójkąt ABC, DK jest osią symetrii boku AB, EL osią symetrii boku AC. Te dwie osie przecinają się ze sobą, niech O będzie punktem ich przecięcia. O tym punkcie możemy powiedzieć, że jest jednakowo oddalony od wierzchołków A i B trójkąta, jednakowo oddalony od wierzchołków A i C z podobnej przyczyny. Stąd wynika, że punkt O jest jednakowo oddalony od wszystkich trzech wierzchołków trójkąta, więc i od B i C, a zatem musi leżeć także na osi symetrii boku BC, czyli jest punktem przecięcia się osi wszystkich trzech boków trójkąta, cbdd.
Osie symetrii (dwusieczne) wszystkich trzech kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
Dowód:
. W trójkącie ABC podzielmy kąty A i C na połowy, dwusieczna AE będzie osią symetrii kąta A, CD - osią kąta C.
Niech te dwusieczne przecinają się w punkcie O. Rozumując podobnie jak w twierdzeniu poprzednim, dojdziemy do wniosku, że ten punkt leży w jednakowej odległości od wszystkich boków trójkąta, a jeżeli jest jednakowo oddalony od boków AB i BC, to musi leżeć także na osi kąta B, a to dowodzi twierdzenia.
W trójkącie wszystkie trzy wysokości przecinają się w jednym punkcie.
Dowód:
Przez wierzchołek B poprowadźmy równoległą do AC, przez C równoległą do AB i przez A równoległą do BC. Zauważmy, że czworokąty: AJBC, ABKC, ABCL, są równoległobokami. Z tego wynika, że AC = JB = BK, a więc B jest środkiem boku JK, dalej AB = KC = CL, a więc C jest środkiem boku KL i nareszcie BC = JA = AL, a więc A jest środkiem boku JL.
Z drugiej strony prosta AD jest prostopadła do BC z założenia, ale JL jest równoległa do BC, a zatem AD jest prostopadła do JL, podobnie CF prostopadłe do KL i BE prostopadłe do JK.
Widzimy, że proste AD, BE i CF są prostopadłe do boków trójkąta JKL, wystawione z ich środków, a więc, jak to już wiemy, przecinać się muszą w jednym punkcie.
Dowód:
Niech będzie dany trójkąt ABC, DK jest osią symetrii boku AB, EL osią symetrii boku AC. Te dwie osie przecinają się ze sobą, niech O będzie punktem ich przecięcia. O tym punkcie możemy powiedzieć, że jest jednakowo oddalony od wierzchołków A i B trójkąta, jednakowo oddalony od wierzchołków A i C z podobnej przyczyny. Stąd wynika, że punkt O jest jednakowo oddalony od wszystkich trzech wierzchołków trójkąta, więc i od B i C, a zatem musi leżeć także na osi symetrii boku BC, czyli jest punktem przecięcia się osi wszystkich trzech boków trójkąta, cbdd.
Osie symetrii (dwusieczne) wszystkich trzech kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
Dowód:
. W trójkącie ABC podzielmy kąty A i C na połowy, dwusieczna AE będzie osią symetrii kąta A, CD - osią kąta C.
Niech te dwusieczne przecinają się w punkcie O. Rozumując podobnie jak w twierdzeniu poprzednim, dojdziemy do wniosku, że ten punkt leży w jednakowej odległości od wszystkich boków trójkąta, a jeżeli jest jednakowo oddalony od boków AB i BC, to musi leżeć także na osi kąta B, a to dowodzi twierdzenia.
W trójkącie wszystkie trzy wysokości przecinają się w jednym punkcie.
Dowód:
Przez wierzchołek B poprowadźmy równoległą do AC, przez C równoległą do AB i przez A równoległą do BC. Zauważmy, że czworokąty: AJBC, ABKC, ABCL, są równoległobokami. Z tego wynika, że AC = JB = BK, a więc B jest środkiem boku JK, dalej AB = KC = CL, a więc C jest środkiem boku KL i nareszcie BC = JA = AL, a więc A jest środkiem boku JL.
Z drugiej strony prosta AD jest prostopadła do BC z założenia, ale JL jest równoległa do BC, a zatem AD jest prostopadła do JL, podobnie CF prostopadłe do KL i BE prostopadłe do JK.
Widzimy, że proste AD, BE i CF są prostopadłe do boków trójkąta JKL, wystawione z ich środków, a więc, jak to już wiemy, przecinać się muszą w jednym punkcie.