Znaleźć równanie trzeciego boku
-
armagonis
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 29 paź 2009, o 19:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piotrków Tryb.
- Podziękował: 21 razy
Znaleźć równanie trzeciego boku
W trójkącie dane są równania dwóch boków \(\displaystyle{ 3x + y - 3 = 0 , 3x + 4y = 0}\) i równanie dwusiecznej jednego z kątów wewnętrznych \(\displaystyle{ x - y + 5 = 0}\). Jakie jest równanie 3 boku ?
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Znaleźć równanie trzeciego boku
Hmmm....
Nie widzę tu jakiegoś sprytnego myku, ale na upartego to można skorzystać z okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oznaczmy:
\(\displaystyle{ p:3x+y-3=0}\)
\(\displaystyle{ q:3x+4y=0}\)
\(\displaystyle{ r:x-y+5=0}\)
Można to rozwiązać następująco:
Znajdujemy punkt wspólny \(\displaystyle{ A}\) prostych \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\). Jest to jeden z wierzchołków trójkąta
Znajdujemy punkty wspólne \(\displaystyle{ B,C}\) pozostałych dwóch par prostych - jeden z nich jest wierzchołkiem, drugi to punkt, w którym dwusieczna przecina przeciwległy bok.
Znajdujemy dwusieczną kąta utworzonego przez proste \(\displaystyle{ p,q}\), czyli zapisujemy warunek \(\displaystyle{ \frac{|3x+y-3|}{\sqrt{3^2+1}}=\frac{|3x+4y|}{\sqrt{3^2+4^2}}}\). Opuszczamy moduły raz bez zmiany znaku, a raz, zmieniajac znaki w jednym z nich, otrzymujemy dwie proste \(\displaystyle{ P_1(x,y)=0}\) i \(\displaystyle{ P_2(x,y)=0}\). Wybieramy tę spośród nich, względem której punkty \(\displaystyle{ B,C}\) leżą po dwóch różnych stronach, czyli \(\displaystyle{ P(B) \cdot P(C)<0}\). Oznaczmy tę prostą przez \(\displaystyle{ s}\)
Środkiem \(\displaystyle{ S}\) szukanego okręgu będzie oczywiście punkt wspólny \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ s}\)
Promieniem szukanego okręgu będzie odległość punktu S od którejkolwiek z prostych \(\displaystyle{ p,q}\)
Kiedy już poznamy okrąg wpisany w ten trójkąt, wystarczy zauważyć, że szukana prosta ma przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ B}\) lub punkt \(\displaystyle{ C}\) oraz jej odległość od środka okręgu ma być równa promieniowi. Czasami oba punkty \(\displaystyle{ B,C}\) dadzą sensowne rozwiązanie, czasami tylko jeden (np. jeśli z którymś z podanych boków podana dwusieczna tworzy kąt rozwarty). Nad sprawdzeniem sensowności wyniku możesz sam się zastanowić.
Nie widzę tu jakiegoś sprytnego myku, ale na upartego to można skorzystać z okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oznaczmy:
\(\displaystyle{ p:3x+y-3=0}\)
\(\displaystyle{ q:3x+4y=0}\)
\(\displaystyle{ r:x-y+5=0}\)
Można to rozwiązać następująco:
Znajdujemy punkt wspólny \(\displaystyle{ A}\) prostych \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\). Jest to jeden z wierzchołków trójkąta
Znajdujemy punkty wspólne \(\displaystyle{ B,C}\) pozostałych dwóch par prostych - jeden z nich jest wierzchołkiem, drugi to punkt, w którym dwusieczna przecina przeciwległy bok.
Znajdujemy dwusieczną kąta utworzonego przez proste \(\displaystyle{ p,q}\), czyli zapisujemy warunek \(\displaystyle{ \frac{|3x+y-3|}{\sqrt{3^2+1}}=\frac{|3x+4y|}{\sqrt{3^2+4^2}}}\). Opuszczamy moduły raz bez zmiany znaku, a raz, zmieniajac znaki w jednym z nich, otrzymujemy dwie proste \(\displaystyle{ P_1(x,y)=0}\) i \(\displaystyle{ P_2(x,y)=0}\). Wybieramy tę spośród nich, względem której punkty \(\displaystyle{ B,C}\) leżą po dwóch różnych stronach, czyli \(\displaystyle{ P(B) \cdot P(C)<0}\). Oznaczmy tę prostą przez \(\displaystyle{ s}\)
Środkiem \(\displaystyle{ S}\) szukanego okręgu będzie oczywiście punkt wspólny \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ s}\)
Promieniem szukanego okręgu będzie odległość punktu S od którejkolwiek z prostych \(\displaystyle{ p,q}\)
Kiedy już poznamy okrąg wpisany w ten trójkąt, wystarczy zauważyć, że szukana prosta ma przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ B}\) lub punkt \(\displaystyle{ C}\) oraz jej odległość od środka okręgu ma być równa promieniowi. Czasami oba punkty \(\displaystyle{ B,C}\) dadzą sensowne rozwiązanie, czasami tylko jeden (np. jeśli z którymś z podanych boków podana dwusieczna tworzy kąt rozwarty). Nad sprawdzeniem sensowności wyniku możesz sam się zastanowić.