wskazanie błędu w obliczeniach

[Kosynier]

Punkty A=(3,1) i B=(7,3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz współrzędne wierzchołka C tego kwadratu.

\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(X_{B}-X_{A})^{2}+(Y_{B}-Y_{A})^{2}}}\)
\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(7-3)^{2}+(3-1)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{20}=2\sqrt{5}}\)

równanie prostej AB
\(\displaystyle{ AB:y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\)
równanie prostej BC
\(\displaystyle{ BC:y=-2x+17}\) wyliczone na podstawie punktu B i założenia prostych prostopadłych \(\displaystyle{ a_{1}\cdot a_{2}=-1}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}y=-2x+17 \\ \sqrt{(x-7)^{2}+(y-3)^{2}}}=2\sqrt{5}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-7)^{2}+(-2x+17-3)^{2}}=2\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+49+4x^{2}+196}=2\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{5x^{2}+245}=2\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{5}x+7\sqrt{5}=2\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{5}x=-5\sqrt{5} /\cdot \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ 5x=-25 /:5}\)
\(\displaystyle{ x=-5}\)

wiem że gdzieś w powyższych obliczeniach jest błąd, bo rozwiązując zadanie metodą graficzną otrzymałem \(\displaystyle{ X_{c}=5}\). przejrzałem to już sam kilkakrotnie ale nie mogę znaleźć tego błędu. Proszę by ktoś się temu przyjrzał i wskazał co robię źle.

[irena_1]

Prosta BC:
\(\displaystyle{ y=-2x+k\\7=-2\cdot3+k\\k=13\\BC:\ \ y=-2x+13}\)

Poza tym:
\(\displaystyle{ (x-7)^2=x^2-14x+49}\) , a nie \(\displaystyle{ x^2+49}\) - wzory skróconego mnożenia

[Kosynier]

Zgodzę się ze wzorem skróconego mnożenia ale przy równaniu prostej \(\displaystyle{ BC}\) zamieniłaś x i y miejscami. Współrzędne to B=(7,3)
A więc, kontynuując ze wzorem skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}-14x+49+4x^{2}+196}=2\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{5x^{2}-14x+245}=2\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{5}x-\sqrt{14x}+7\sqrt{5}=2\sqrt{5}}\)

chyba znów gdzieś coś źle zrobiłem, bo wychodzą mi dalej głupoty.

[irena_1]

No, tak- źle przepisałam sobie współrzędne punktu B.
A w drugim nawiasie zastosowałeś wzór skróconego mnożenia?
\(\displaystyle{ (y-3)^2=(-2x+14)^2=4x^2-56x+196}\)

I masz:
\(\displaystyle{ 5x^2-70x+245=20\\x^2-14x+45=0\\\Delta=196-180=16\\x_1=5\ \vee\ x_2=9\\y_1=7\ \vee\ y_2=-1}\)

\(\displaystyle{ C_1=(5,\ 7),\ \ C_2=(9,\ -1)}\)