prosta leżąca na płaszczyxnie

[asiula0321]

Zbadac dla jakich wartości A i D prosta \(\displaystyle{ x=3+4t}\), \(\displaystyle{ y=1-4t}\), \(\displaystyle{ z=-3+t}\) lezy na płaszczyźnie \(\displaystyle{ Ax+2y-4z+d}\)? Jak to sprawdzic?

[Kamil_B]

Wstaw \(\displaystyle{ x,y,z}\) z równania prostej do równania płaszczyzny

[maciejsporysz]

Możesz to zrobić na dwa sposoby.
Pierwszy - wstaw x,y,z do równania płaszczyzny i doprowadź do postaci \(\displaystyle{ t(4A-12)+(3A+14+d)=0}\) Musisz zagwarantować by równanie to zachodziło dla każdego punktu z prostej, więc niezależnie od t. Stąd o ile nie pomyliłem się w rachunkach \(\displaystyle{ A=3, d=-23}\)
Drugi. Wektor prostopadły do płaszczyzny to \(\displaystyle{ \left[ A,2,-4 \right]}\), zaś wektor tworzący prostą \(\displaystyle{ \left[ 4,-4,1 \right]}\). Ich iloczyn skalarny musi być zero. Czyli \(\displaystyle{ 4A-8-4=0}\).
To gwarantuje, że prosta będzie równoległa do płaszczyzny. Teraz musisz jeszcze zagwarantować leżenie prostej na płaszczyźnie. Wybierasz dowolny punkt z prostej, np \(\displaystyle{ \left( 3,1,-3 \right)}\) i wstawiasz do równania płaszczyzny.