Optymаlizacja

[Jerzy_q]

Dla danych czterech współliniowych punktów na płaszczyźnie znaleźć taki punkt \(\displaystyle{ S}\), że suma jego odległości od danych czterech punktów jest najmniejsza.

[octahedron]

Przez punkty poprowadźmy prostą. Weźmy dowolny punkt S poza nią i rozpatrzmy jego rzut prostokątny na prostą S'. Z nierówności trójkąta wynika, że suma odległości dla S będzie zawsze większa niż dla S', czyli S musi leżeć na prostej. Rozpatrzmy dwa punkty na prostej. Jeśli umieścimy S między nimi, to suma odległości od tych punktów będzie stała niezależnie od tego, gdzie dokładnie umieścimy S. Jeżeli zaś S nie znajduje się pomiędzy tymi punktami, suma odległości będzie większa niż dla przypadku "pomiędzy". Wynika stąd, że minimalną sumę odległości uzyskamy dla S leżącego w dowolnym punkcie prostej między drugim i trzecim zadanym punktem.