równania stycznych
-
sławek1988
- Użytkownik
- Posty: 97
- Rejestracja: 10 wrz 2006, o 20:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
równania stycznych
mam znaleźć równania stycznych do krzywej:\(\displaystyle{ y=2x+\sqrt{5-x^{2}}}\) które są prostopadłe do prostej 2x+5y -7=0 ??
-
LecHu :)
- Użytkownik
- Posty: 953
- Rejestracja: 23 gru 2005, o 23:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BFGD
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 162 razy
równania stycznych
\(\displaystyle{ y'=2-\frac{x}{\sqrt{5-x^{2}}}}\)
Prostopadła do prostej ma współczynnik kierunkowy :\(\displaystyle{ -\frac{1}{a}}\) gdzie a to współ. kierunkowy prostej do której dana ma być prostopadła.
W tym przypadku:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{a}=\frac{5}{2}}\)
Teraz masz obliczyć dla jakiego x-a pochodna przyjumje wartość \(\displaystyle{ \frac{5}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2-\frac{5}{2}=\frac{x}{\sqrt{5-x^{2}}} /^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}=\frac{x^{2}}{5-x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ 5x^{2}=\frac{5}{4}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\) v \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{2}}\)
Czyli prosta ma postać \(\displaystyle{ y_{s}=\frac{5}{2}x+b}\)
Teraz obliczymy b:
\(\displaystyle{ f(0,5)=\frac{2+\sqrt{19}}{2}}\)
\(\displaystyle{ f(-0,5)=\frac{-2+\sqrt{19}}{2}}\)
Te wartości podstawiamy za y-ki we wzorze na naszą styczną, a za x-y 0,5 i -0,5:
\(\displaystyle{ \frac{2+\sqrt{19}}{2}=\frac{5}{2}{\cdot}0,5+b_{1}}\)
\(\displaystyle{ b_{1}=\frac{-1+2\sqrt{19}}{4}}\)
\(\displaystyle{ b_{2}=\frac{1+2\sqrt{19}}{4}}\)
Teraz wystarczy popodstawiać za b.
Prostopadła do prostej ma współczynnik kierunkowy :\(\displaystyle{ -\frac{1}{a}}\) gdzie a to współ. kierunkowy prostej do której dana ma być prostopadła.
W tym przypadku:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{a}=\frac{5}{2}}\)
Teraz masz obliczyć dla jakiego x-a pochodna przyjumje wartość \(\displaystyle{ \frac{5}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2-\frac{5}{2}=\frac{x}{\sqrt{5-x^{2}}} /^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}=\frac{x^{2}}{5-x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ 5x^{2}=\frac{5}{4}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\) v \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{2}}\)
Czyli prosta ma postać \(\displaystyle{ y_{s}=\frac{5}{2}x+b}\)
Teraz obliczymy b:
\(\displaystyle{ f(0,5)=\frac{2+\sqrt{19}}{2}}\)
\(\displaystyle{ f(-0,5)=\frac{-2+\sqrt{19}}{2}}\)
Te wartości podstawiamy za y-ki we wzorze na naszą styczną, a za x-y 0,5 i -0,5:
\(\displaystyle{ \frac{2+\sqrt{19}}{2}=\frac{5}{2}{\cdot}0,5+b_{1}}\)
\(\displaystyle{ b_{1}=\frac{-1+2\sqrt{19}}{4}}\)
\(\displaystyle{ b_{2}=\frac{1+2\sqrt{19}}{4}}\)
Teraz wystarczy popodstawiać za b.