równanie prostej stycznej do okręgu

mati1717 · Post autor: **mati1717** » 23 kwie 2011, o 21:05

Mam pytanie jak wyznaczyć punkty styczności prostych z okręgiem \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=9}\)
Proste poprowadzono z punktu \(\displaystyle{ A=(0,-6)}\)

anna_ · Post autor: **anna_** » 23 kwie 2011, o 21:17

Stycza jest postaci:
\(\displaystyle{ y=ax+b}\)
ponieważ przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A=(0,-6)}\), więc jego współrzędne muszą to równanie spełniać
\(\displaystyle{ -6=a \cdot 0+b}\)
\(\displaystyle{ b=-6}\)
czyli styczna ma równanie
\(\displaystyle{ y=ax-6}\)

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=9}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+(ax-6)^{2}=9}\)

\(\displaystyle{ \Delta=0}\)

mati1717 · Post autor: **mati1717** » 23 kwie 2011, o 22:14

\(\displaystyle{ x^{2}+x (a^{2}x-12)+26=0}\)

nie wiem czy dobrze robie... nie mam pomysłu jak to przekształcić, żebym miał to wyznaczenia delty tylko niewiadomą a...

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 23 kwie 2011, o 22:27

anna_ pisze:...
\(\displaystyle{ x^{2}+(ax-6)^{2}=9}\)

\(\displaystyle{ \Delta=0}\)

Podnieś ten nawias do potęgi; uporządkuj - dostaniesz kwadratowe (ze względu na (x)) - delta będzie zawierać tylko niewiadomą (a).

Ps. Zadanie można zrobić inaczej - odległość szukanej stycznej od środka okręgu ma być równa promieniowi.

mati1717 · Post autor: **mati1717** » 24 kwie 2011, o 00:01

\(\displaystyle{ x^{2}+(ax-6)^{2}=9 \\ x^{2}+(ax)^{2}-12ax +36-9=0 \\ x^{2}+(ax)^{2}-12ax +27=0 \Rightarrow ?? \ x^{2}+x[(a)^{2}-12a] +27 = 0}\)

poprawnie to jest ??

anna_ · Post autor: **anna_** » 24 kwie 2011, o 00:43

\(\displaystyle{ (a^2 + 1)x^2 - 12ax + 27=0}\)

mati1717 · Post autor: **mati1717** » 24 kwie 2011, o 01:34

Aha Dzięki wielkie za pomoc