Równanie stycznych do okręgów
- rafaluk
- Użytkownik
- Posty: 497
- Rejestracja: 26 wrz 2007, o 14:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: x=213; y=33; z=79;
- Podziękował: 114 razy
- Pomógł: 10 razy
Równanie stycznych do okręgów
Znajdź równania prostych stycznych do dwóch okręgów:
\(\displaystyle{ (x-3)^2+y^2=9}\)
i
\(\displaystyle{ (x+5)^2+y^2=25}\)
Próbowałem z odległości punktu od prostej, ale jakoś nie wychodzi.
\(\displaystyle{ (x-3)^2+y^2=9}\)
i
\(\displaystyle{ (x+5)^2+y^2=25}\)
Próbowałem z odległości punktu od prostej, ale jakoś nie wychodzi.
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Równanie stycznych do okręgów
A z resztą to miałeś dobry pomysł z odległością. Skoro nie szukasz już prostych równoległych do osi \(\displaystyle{ Oy}\), to przyjmij, ze równanie szukanej prostej ma postać \(\displaystyle{ y=ax+b}\), czyli \(\displaystyle{ ax-y+b=0}\). Wtedy piszesz, że np. \(\displaystyle{ \frac{|3a+b|}{\sqrt{a^2+1}}=3}\). Najlepiej pokaż obliczenia do sprawdzenia.
- rafaluk
- Użytkownik
- Posty: 497
- Rejestracja: 26 wrz 2007, o 14:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: x=213; y=33; z=79;
- Podziękował: 114 razy
- Pomógł: 10 razy
Równanie stycznych do okręgów
Zapisałem to w takiej postaci:
\(\displaystyle{ l: Ax+By+C=0 \wedge S_1 =(-5,0) \wedge S_2=(3,0) \\ \\ 5=\frac{|-5A+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \wedge 3=\frac{|3A+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}\)
Jak teraz patrzę na to, co napisałeś, czyli że prosta ma mieć postać \(\displaystyle{ ax-y+b=0}\), a nie \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\), to widzę, że jedna niewiadoma mi wyskakuje - B. Zostaje układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}5=\frac{|-5a+b|}{\sqrt{a^2+1}} \\ 3=\frac{|3a+b|}{\sqrt{a^2+1}} \end{cases}}\)
Mnożę oba równania przez \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+1}}\), następnie podnoszę do kwadratu:
\(\displaystyle{ \begin{cases}25(a^2+1)=25a^2-10a+b^2 \\ 9(a^2+1)=9a^2+6b+b^2 \end{cases} \\ \\ \begin{cases}b^2-10a-25=0 \\ b^2+6b-9=0\end{cases}}\)
Z drugiego równania wychodzi \(\displaystyle{ \Delta =72=(6\sqrt{2})^2}\), więc \(\displaystyle{ b_1=3+3\sqrt{2} \wedge b_2=3-3\sqrt{2}}\), a to już z rysunku widać, że \(\displaystyle{ b_1}\) musi być równe \(\displaystyle{ (-b_2)}\). :/
\(\displaystyle{ l: Ax+By+C=0 \wedge S_1 =(-5,0) \wedge S_2=(3,0) \\ \\ 5=\frac{|-5A+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \wedge 3=\frac{|3A+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}\)
Jak teraz patrzę na to, co napisałeś, czyli że prosta ma mieć postać \(\displaystyle{ ax-y+b=0}\), a nie \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\), to widzę, że jedna niewiadoma mi wyskakuje - B. Zostaje układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}5=\frac{|-5a+b|}{\sqrt{a^2+1}} \\ 3=\frac{|3a+b|}{\sqrt{a^2+1}} \end{cases}}\)
Mnożę oba równania przez \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+1}}\), następnie podnoszę do kwadratu:
\(\displaystyle{ \begin{cases}25(a^2+1)=25a^2-10a+b^2 \\ 9(a^2+1)=9a^2+6b+b^2 \end{cases} \\ \\ \begin{cases}b^2-10a-25=0 \\ b^2+6b-9=0\end{cases}}\)
Z drugiego równania wychodzi \(\displaystyle{ \Delta =72=(6\sqrt{2})^2}\), więc \(\displaystyle{ b_1=3+3\sqrt{2} \wedge b_2=3-3\sqrt{2}}\), a to już z rysunku widać, że \(\displaystyle{ b_1}\) musi być równe \(\displaystyle{ (-b_2)}\). :/
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Równanie stycznych do okręgów
Źle podnosisz do kwadratu, bo np. w pierwszym równaniu powinno być \(\displaystyle{ 25a^2-10a \red b\black+b^2}\).
W ten sposób jednak bardzo sobie komplikujesz obliczenia. Nie lepiej będzie pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+1}}\), a potem wyznaczyć \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+1}}\) z jednego równania i wstawić do drugiego? Rozważ potem dwa przypadki.
W ten sposób jednak bardzo sobie komplikujesz obliczenia. Nie lepiej będzie pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+1}}\), a potem wyznaczyć \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+1}}\) z jednego równania i wstawić do drugiego? Rozważ potem dwa przypadki.
- rafaluk
- Użytkownik
- Posty: 497
- Rejestracja: 26 wrz 2007, o 14:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: x=213; y=33; z=79;
- Podziękował: 114 razy
- Pomógł: 10 razy
Równanie stycznych do okręgów
Ale żenada z tym kwadratem...
No dobra, robię Twoim sposobem:
\(\displaystyle{ \frac{|-5a+b|}{5}=\frac{|3a+b|}{3}}\)
Na krzyż i wymnażam:
\(\displaystyle{ 3b-15a=15a+5b \vee 15a-3b=15a+5b}\)
Z pierwszego: \(\displaystyle{ b=-15a}\), z drugiego zaś: \(\displaystyle{ b=0}\). Interesuje mnie tylko pierwsze rozwiązanie, bo z drugiego wyjdzie pewnie \(\displaystyle{ OX}\).
\(\displaystyle{ 3\cdot |-5a+b|=5\cdot |3a+b| \\ \\ 3\cdot |-20a|=5\cdot |-12a| \\ \\ |60a|=|60a|}\)
Grrrrrrrrr
No dobra, robię Twoim sposobem:
\(\displaystyle{ \frac{|-5a+b|}{5}=\frac{|3a+b|}{3}}\)
Na krzyż i wymnażam:
\(\displaystyle{ 3b-15a=15a+5b \vee 15a-3b=15a+5b}\)
Z pierwszego: \(\displaystyle{ b=-15a}\), z drugiego zaś: \(\displaystyle{ b=0}\). Interesuje mnie tylko pierwsze rozwiązanie, bo z drugiego wyjdzie pewnie \(\displaystyle{ OX}\).
\(\displaystyle{ 3\cdot |-5a+b|=5\cdot |3a+b| \\ \\ 3\cdot |-20a|=5\cdot |-12a| \\ \\ |60a|=|60a|}\)
Grrrrrrrrr
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Równanie stycznych do okręgów
rafaluk, sprawdziłeś że dobrze rozwiązałeś równanie, a następnie napisałeś:
Ja to zadanie widzę tak. Jeśli prosta jest styczna do obu okręgów, to promienie okręgów o końcach w punktach styczności są równoległe. Wektory promieni mogą mieć zwroty zgodne albo przeciwne.
W przypadku, gdy zwroty są przeciwne, to dostaniemy prostą, o której napisał ares41.
Skupmy się na przypadku zgodnych zwrotów. Niech \(\displaystyle{ \overrightarrow{r}=(\cos\varphi,\sin\varphi)}\) będzie dowolnym wektorem jednostkowym. Załóżmy, że żądane promienie to wektory \(\displaystyle{ 3\overrightarrow{r}}\) i \(\displaystyle{ 5\overrightarrow{r}}\). Punkty styczności w takim razie, to \(\displaystyle{ A=(3,0)+3\overrightarrow{r}}\) oraz \(\displaystyle{ B=(-5,0)+5\overrightarrow{r}}\). Chcemy, żeby \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{r}}\). Wystarczy więc przyrównać odpowiedni iloczyn skalarny do zera. W ten sposób znajdziemy \(\displaystyle{ \cos\varphi}\), więc poznamy punkty styczności. Dalej już łatwo napisać równanie prostej.
Nie wiem, czy moje rozwiązanie jest prostsze czy nie, ale na wszelki wypadek napisałem. Może komuś się spodoba.
O co chodzi?rafaluk pisze: Grrrrrrrrr
Ja to zadanie widzę tak. Jeśli prosta jest styczna do obu okręgów, to promienie okręgów o końcach w punktach styczności są równoległe. Wektory promieni mogą mieć zwroty zgodne albo przeciwne.
W przypadku, gdy zwroty są przeciwne, to dostaniemy prostą, o której napisał ares41.
Skupmy się na przypadku zgodnych zwrotów. Niech \(\displaystyle{ \overrightarrow{r}=(\cos\varphi,\sin\varphi)}\) będzie dowolnym wektorem jednostkowym. Załóżmy, że żądane promienie to wektory \(\displaystyle{ 3\overrightarrow{r}}\) i \(\displaystyle{ 5\overrightarrow{r}}\). Punkty styczności w takim razie, to \(\displaystyle{ A=(3,0)+3\overrightarrow{r}}\) oraz \(\displaystyle{ B=(-5,0)+5\overrightarrow{r}}\). Chcemy, żeby \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{r}}\). Wystarczy więc przyrównać odpowiedni iloczyn skalarny do zera. W ten sposób znajdziemy \(\displaystyle{ \cos\varphi}\), więc poznamy punkty styczności. Dalej już łatwo napisać równanie prostej.
Nie wiem, czy moje rozwiązanie jest prostsze czy nie, ale na wszelki wypadek napisałem. Może komuś się spodoba.
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Równanie stycznych do okręgów
rafaluk, z \(\displaystyle{ b=0}\) wyjdzie sprzeczność, ale warto byłoby to pokazać w rozwiazaniu. Co do drugiego wyniku, to skoro dostałeś \(\displaystyle{ b=-15a}\), podstaw to zamiast \(\displaystyle{ b}\) do któregokolwiek z równań układu.
- rafaluk
- Użytkownik
- Posty: 497
- Rejestracja: 26 wrz 2007, o 14:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: x=213; y=33; z=79;
- Podziękował: 114 razy
- Pomógł: 10 razy
Równanie stycznych do okręgów
Bo zapomniałem, że rozwiązuję układ równań Co do Twojego rozwiązania, to jest sprytne, tylko np. na maturze bałbym się go zastosować, bo jest nieco zawiłenorwimaj pisze:rafaluk, sprawdziłeś że dobrze rozwiązałeś równanie, a następnie napisałeś:
O co chodzi?rafaluk pisze: Grrrrrrrrr
(...)
Nie wiem, czy moje rozwiązanie jest prostsze czy nie, ale na wszelki wypadek napisałem. Może komuś się spodoba.
Crizz, dzięki za pomoc, już ogarniam ale mimo wszystko zadanie sprawiło wiele trudności... tysiąc rzeczy trzeba liczyć i w każdym miejscu czyha błąd :/