Równanie stycznych do okręgów

[rafaluk]

Znajdź równania prostych stycznych do dwóch okręgów:

\(\displaystyle{ (x-3)^2+y^2=9}\)

i

\(\displaystyle{ (x+5)^2+y^2=25}\)

Próbowałem z odległości punktu od prostej, ale jakoś nie wychodzi.

[ares41]

Jedna ze stycznych ma równanie \(\displaystyle{ k:x=0}\).

[rafaluk]

O, rzeczywiście A co z resztą?

[Crizz]

A z resztą to miałeś dobry pomysł z odległością. Skoro nie szukasz już prostych równoległych do osi \(\displaystyle{ Oy}\), to przyjmij, ze równanie szukanej prostej ma postać \(\displaystyle{ y=ax+b}\), czyli \(\displaystyle{ ax-y+b=0}\). Wtedy piszesz, że np. \(\displaystyle{ \frac{|3a+b|}{\sqrt{a^2+1}}=3}\). Najlepiej pokaż obliczenia do sprawdzenia.

[rafaluk]

Zapisałem to w takiej postaci:

\(\displaystyle{ l: Ax+By+C=0 \wedge S_1 =(-5,0) \wedge S_2=(3,0) \\ \\ 5=\frac{|-5A+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \wedge 3=\frac{|3A+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}\)

Jak teraz patrzę na to, co napisałeś, czyli że prosta ma mieć postać \(\displaystyle{ ax-y+b=0}\), a nie \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\), to widzę, że jedna niewiadoma mi wyskakuje - B. Zostaje układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases}5=\frac{|-5a+b|}{\sqrt{a^2+1}} \\ 3=\frac{|3a+b|}{\sqrt{a^2+1}} \end{cases}}\)

Mnożę oba równania przez \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+1}}\), następnie podnoszę do kwadratu:

\(\displaystyle{ \begin{cases}25(a^2+1)=25a^2-10a+b^2 \\ 9(a^2+1)=9a^2+6b+b^2 \end{cases} \\ \\ \begin{cases}b^2-10a-25=0 \\ b^2+6b-9=0\end{cases}}\)

Z drugiego równania wychodzi \(\displaystyle{ \Delta =72=(6\sqrt{2})^2}\), więc \(\displaystyle{ b_1=3+3\sqrt{2} \wedge b_2=3-3\sqrt{2}}\), a to już z rysunku widać, że \(\displaystyle{ b_1}\) musi być równe \(\displaystyle{ (-b_2)}\). :/

[Crizz]

Źle podnosisz do kwadratu, bo np. w pierwszym równaniu powinno być \(\displaystyle{ 25a^2-10a \red b\black+b^2}\).

W ten sposób jednak bardzo sobie komplikujesz obliczenia. Nie lepiej będzie pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+1}}\), a potem wyznaczyć \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+1}}\) z jednego równania i wstawić do drugiego? Rozważ potem dwa przypadki.

[rafaluk]

Ale żenada z tym kwadratem...

No dobra, robię Twoim sposobem:

\(\displaystyle{ \frac{|-5a+b|}{5}=\frac{|3a+b|}{3}}\)

Na krzyż i wymnażam:

\(\displaystyle{ 3b-15a=15a+5b \vee 15a-3b=15a+5b}\)

Z pierwszego: \(\displaystyle{ b=-15a}\), z drugiego zaś: \(\displaystyle{ b=0}\). Interesuje mnie tylko pierwsze rozwiązanie, bo z drugiego wyjdzie pewnie \(\displaystyle{ OX}\).

\(\displaystyle{ 3\cdot |-5a+b|=5\cdot |3a+b| \\ \\ 3\cdot |-20a|=5\cdot |-12a| \\ \\ |60a|=|60a|}\)

Grrrrrrrrr

[norwimaj]

rafaluk, sprawdziłeś że dobrze rozwiązałeś równanie, a następnie napisałeś:

Grrrrrrrrr

O co chodzi?



Ja to zadanie widzę tak. Jeśli prosta jest styczna do obu okręgów, to promienie okręgów o końcach w punktach styczności są równoległe. Wektory promieni mogą mieć zwroty zgodne albo przeciwne.

W przypadku, gdy zwroty są przeciwne, to dostaniemy prostą, o której napisał ares41.

Skupmy się na przypadku zgodnych zwrotów. Niech \(\displaystyle{ \overrightarrow{r}=(\cos\varphi,\sin\varphi)}\) będzie dowolnym wektorem jednostkowym. Załóżmy, że żądane promienie to wektory \(\displaystyle{ 3\overrightarrow{r}}\) i \(\displaystyle{ 5\overrightarrow{r}}\). Punkty styczności w takim razie, to \(\displaystyle{ A=(3,0)+3\overrightarrow{r}}\) oraz \(\displaystyle{ B=(-5,0)+5\overrightarrow{r}}\). Chcemy, żeby \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{r}}\). Wystarczy więc przyrównać odpowiedni iloczyn skalarny do zera. W ten sposób znajdziemy \(\displaystyle{ \cos\varphi}\), więc poznamy punkty styczności. Dalej już łatwo napisać równanie prostej.


Nie wiem, czy moje rozwiązanie jest prostsze czy nie, ale na wszelki wypadek napisałem. Może komuś się spodoba.

[Crizz]

rafaluk, z \(\displaystyle{ b=0}\) wyjdzie sprzeczność, ale warto byłoby to pokazać w rozwiazaniu. Co do drugiego wyniku, to skoro dostałeś \(\displaystyle{ b=-15a}\), podstaw to zamiast \(\displaystyle{ b}\) do któregokolwiek z równań układu.

[rafaluk]

rafaluk, sprawdziłeś że dobrze rozwiązałeś równanie, a następnie napisałeś:

Grrrrrrrrr

O co chodzi?

(...)

Nie wiem, czy moje rozwiązanie jest prostsze czy nie, ale na wszelki wypadek napisałem. Może komuś się spodoba.

Bo zapomniałem, że rozwiązuję układ równań Co do Twojego rozwiązania, to jest sprytne, tylko np. na maturze bałbym się go zastosować, bo jest nieco zawiłe

Crizz, dzięki za pomoc, już ogarniam ale mimo wszystko zadanie sprawiło wiele trudności... tysiąc rzeczy trzeba liczyć i w każdym miejscu czyha błąd :/