Czy okręgi się "przesłaniają"?

[slash851]

Witam,
mam na osi 3 okręgi o podanych środkach w punktach A(x1,y1) B(x2,y2) oraz C(x3,y3).
Wszystkie okręgi mają jednakowy promieniach o długości R.
Jak sprawdzić czy jakikolwiek punkt należący do okręgu B jest przecinany przez jeden z dwóch stycznych utworzonych między okręgami A C.
Innymi słowy jak sprawdzić czy jakakolwiek część okrągu B "znajduje się pomiędzy" okręgami A i C.

Pod spodem rysunek:

[anna_]

Musisz znaleźć równania stycznych równoległych, do okręgów A i C
Jeżeli odległość środka okręgu B jest mniejsza od promienia, to okrąg będzie leżał między

[slash851]

Dokładnie tak anna_ doskonale to widać na rysunku, mi bardziej chodzi o pomoc w rozpisaniu tego przy pomocy wzorów, bo nie będę ukrywał że nie jestem na bierząco z wzorami matematycznymi, a próbuje tą zależność oprogramować w mojej bilardowej grze gdzie taka pozycja bil przesłoniętych nazywana jest snookerem.

Prosiłbym o pomoc w rozpisaniu tego.

[anna_]

Wzór na prostą przechodzącą przez dwa punkty A i C
\(\displaystyle{ y-y_{A}=\frac{y_{C}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}\cdot(x-x_{A})}\)

\(\displaystyle{ y=\frac{y_{C}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}\cdot(x-x_{A})+y_{A}}\)

\(\displaystyle{ y=\frac{y_{C}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}\cdot x- \frac{y_{C}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} \cdot x_{A}+y_{A}}\)

Styczne są równoległe do tej prostej i oddalone od niej o długość promienia.

Odległość punktu \(\displaystyle{ B(x_B;y_B)}\) od prostej
\(\displaystyle{ d= \frac{|x_B \cdot tg\alpha-y_B+b |}{ \sqrt{1+tg^2\alpha} }}\)
gdzie
\(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{y_{C}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}\)
\(\displaystyle{ b=- \frac{y_{C}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} \cdot x_{A}+y_{A}}\)

Żeby okrąg B leżał między jego środek musi być oddalony od prostej przechodzącej przez środki okręgów A i C o mniej niż dwa promienie , czyli \(\displaystyle{ d<2r}\)

Powinno być dobrze.

PS poprzednio źle napisałam (odległość musi byś mniejsza, a nie większa)

[slash851]

Może zacznę od tego co wiem:
rozumiem że na początku musimy znaleźć punkt nazwijmy go W na okręgu, który będzie punktem styczności.
Aby to zrobić łatwo zauważyć że musze stworzyć trójkąt prostokątny o podstawie AC oraz wysokości AW. W ten sposób mogę otrzymać długość wszytkich boków trujkąta a mianowicie AC , AW araz CW.


niech W ma współrzędne x4,y4 więc:
\(\displaystyle{ \vec{AC} = \sqrt{ (x3-x1)^{2} + (y3-y1)^{2}}}\)

mam więc \(\displaystyle{ \vec{AC}}\) mam też \(\displaystyle{ \vec{AW}}\) czyli promień R
mogę obliczyć \(\displaystyle{ \vec{CW}}\) z tw. pitagorasa

\(\displaystyle{ \vec{CW} = \sqrt{\vec{AC}^{2} + \vec{AW}^{2}}}\)

jak z tych danych obliczyć współrzędne pkt W?
rozumiem że otrzymamy dwa wyniki dla pkt W ora W' leżącego po drugiej stronie okręgu...

czy puki co dobrze rozumuje?

[anna_]

Nie musisz mieć punktu styczności. Styczne są równoległe do prostej przechodącej przez środki okręgów A i C i oddalone od niej o promień.

Patrz post wyżej.
Myślę, że powinno wyjśc co trzeba.

[slash851]

a nie zauważyłem że już odpowiedziałaś, żeczywiście nie pomyślałem o tym, dzięki wielkie za tak szybką i idealną odpowiedź.

pozdrawiam.-- 18 kwi 2011, o 13:10 --

Wzór na prostą przechodzącą przez dwa punkty A i C
\(\displaystyle{ y-y_{A}=\frac{y_{C}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}\cdot(x-x_{A})}\)

nie zauważyłem tego wcześniej a tam drobny błąd się Annie wkradł
a mianowicie powinno być w mianowniku xC zamiast xB
\(\displaystyle{ y-y_{A}=\frac{y_{C}-y_{A}}{x_{C}-x_{A}}\cdot(x-x_{A})}\)

i analogicznie:
\(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{y_{C}-y_{A}}{x_{C}-x_{A}}}\)
oraz
\(\displaystyle{ b=- \frac{y_{C}-y_{A}}{x_{C}-x_{A}} \cdot x_{A}+y_{A}}\)

pozdrawiam