Pole trójkąta, dwa zadania

[Kesalka]

1. Wykres funkcji jest określony następującym wzorem \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{x^{2}}}\) Przeprowadzono prostą równoległą do osi Ox, która przecięła wykres tej w funkcji w punktach A i B. Niech C=(3,-1). Wykaż, że pole trójkąta ABC jest większe bądź równe 2.

2. Bok kwadratu ABCD ma długość 1. Na bokach BC i CD wybrano punkty E i F umieszczone tak by |CE| = 2 |DF|. Oblicz wartość x=|DF|, dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze.

Chciałabym tylko, aby ktoś wyjaśnił mi kiedy pole trójkąta będzie najmniejsze i dlaczego. Wydaje mi się, że w pierwszym zadaniu pole będzie najmniejsze, gdy punkty A i B będą leżały na prostej y=1, ale że w matmie (a tym bardziej na maturze) nie ma miejsca na kobiecą intuicję to prosiłabym o małą pomoc.

[gosiarozn]

ad 1. : punkty A i B to rozwiązania przyrównania funkcji f i prostej równoległej do ox
; policz srodek odcinka AB , nazwij to jakos np. D.
wyznacz prostą prostopadłą do AB która zawiera C, tam leży też D oczywiście. Długość odcinka DC to wysokość trójkąta. a długość AB to jego podstawa, więc podstaw do wzoru na pole

[piasek101]

1) Ustalasz współrzędne A i B w zależności od (x) - można przyjąć, że jest dodatni..

Pole trójkąta to \(\displaystyle{ P=0,5|AB|\cdot h}\) gdzie (h) jest odległością punktu C od poziomej prostej; (h) też uzależniasz od (x). Wykażesz co trzeba jeśli będziesz miała zależność na pole tego trójkąta.

[Vax]

1) Załóżmy, że po prawej stronie osi OY znajduje się punkt A, a po lewej punkt B. Punkt A ma współrzędne \(\displaystyle{ A(x ; \frac{1}{x^2})}\) dla pewnego rzeczywistego dodatniego x, wówczas punkt B ma współrzędne \(\displaystyle{ B(-x ; \frac{1}{x^2})}\) Teraz wystarczy policzyć pole, najszybciej będzie skorzystać z wektorów: \(\displaystyle{ \vec{AB} = [-2x ; 0] \wedge \vec{AC} = [3-x ; -1-\frac{1}{x^2}]}\) Korzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}|det(\vec{AB},\vec{AC})| = \frac{1}{2}|2x+\frac{2}{x}| = |x+\frac{1}{x}|}\) Pozostaje udowodnić, że zachodzi (oczywiście \(\displaystyle{ x>0}\)), \(\displaystyle{ x+\frac{1}{x} \ge 2 /\cdot x \Rightarrow (x-1)^2 \ge 0}\) co jest oczywiście prawdziwe, ponieważ kwadrat dowolnej rzeczywistej liczby jest nieujemny.

2) Skoro \(\displaystyle{ |DF|=x}\) to \(\displaystyle{ |FC|=1-x \wedge |CE|=2x \wedge |EB|=1-2x}\). Policzymy pole trójkąta \(\displaystyle{ AEF}\) odejmując od pola całego kwadratu sumę pól 3 trójkątów prostokątnych \(\displaystyle{ ADF}\), \(\displaystyle{ FCE}\) oraz \(\displaystyle{ ABE}\):

\(\displaystyle{ P_{AEF} = 1 - (\frac{x}{2}+\frac{1}{2}-x+x-x^2) = 1 - (-x^2+\frac{x}{2}+\frac{1}{2}) = x^2-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}}\)

Najmniejszą wartość x przyjmuje w wierzchołku:

\(\displaystyle{ min_x = \frac{-b}{2a} = \frac{1}{4}}\)

Dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{4}}\) pole trójkąta \(\displaystyle{ AEF}\) jest najmniejsze.

Pozdrawiam.

[Kesalka]

1. Skorzystałam z tego wzoru:


Dzięki za pomoc