Witam ponownie w ramach odświeżenia wiadomości po przerwie świątecznej natrafiłem na następujące zadanko sprawiające mi kłopot.
Napisz równanie stycznych do okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-8x-10y+28=0}\) tworzących z prostą \(\displaystyle{ 5x-y+3=0}\) kąt 45 stopni.
Z góry dziękuje za szybką pomoc.
Równanie stycznych do okręgu tworzących z prostą kąt 4
-
bartholdy
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 14 gru 2006, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 49 razy
Równanie stycznych do okręgu tworzących z prostą kąt 4
\(\displaystyle{ (x-4)^2+(y-5)^2 = 13}\)
\(\displaystyle{ l: y = 5x+3}\)
\(\displaystyle{ k: y = ax+b}\) - nasze proste.
\(\displaystyle{ 1^\circ}\) Proste \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) mają się przecinać pod kątem \(\displaystyle{ 45^\circ}\).
\(\displaystyle{ 2^\circ}\) Odległość od środka okręgu do prostej jest \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\).
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}tg45^\circ = ft |\frac{5-a}{1+5\cdot a}\right| \\ \sqrt{13} = \frac{|4\cdot a - 5 + b|}{\sqrt{a^2+1}}\end{array}}\)
Mam nadzieje, że się nie pomyliłem. Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ l: y = 5x+3}\)
\(\displaystyle{ k: y = ax+b}\) - nasze proste.
\(\displaystyle{ 1^\circ}\) Proste \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) mają się przecinać pod kątem \(\displaystyle{ 45^\circ}\).
\(\displaystyle{ 2^\circ}\) Odległość od środka okręgu do prostej jest \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\).
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}tg45^\circ = ft |\frac{5-a}{1+5\cdot a}\right| \\ \sqrt{13} = \frac{|4\cdot a - 5 + b|}{\sqrt{a^2+1}}\end{array}}\)
Mam nadzieje, że się nie pomyliłem. Pozdrawiam.
-
Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
Równanie stycznych do okręgu tworzących z prostą kąt 4
Prosta:
\(\displaystyle{ 5x-y+3=0}\) przekształcamy do postaci kierunkowej \(\displaystyle{ y=ax+b}\) w tym przypadku \(\displaystyle{ y=5x-3}\) współczynnik kierunkowy stanowi tangens kąta nachylenia prostej do osi OX więc; \(\displaystyle{ tg\alpha=5}\)
\(\displaystyle{ \alpha=78^{o}42'}\) dotego jesze dodać te 45° obliczasz tangens \(\displaystyle{ tg123^{o}42'=-1,499436745}\) w zaokrągleniu -1,5 więc równanie stycznej ma postać \(\displaystyle{ y=-1,5+b}\) współczynnik b oblixczysz podstawiając do równania okręgu tzn:
\(\displaystyle{ x^{2}+(b-1,5)^{2}-8x-10(b-1,5x)+28=0}\) jest przy tym warunej zeby
\(\displaystyle{ \Delta=0}\) czyli \(\displaystyle{ (7-3b)^{2}-4{\cdot}3,25{\cdot}(28-10b)=0}\)
\(\displaystyle{ 5x-y+3=0}\) przekształcamy do postaci kierunkowej \(\displaystyle{ y=ax+b}\) w tym przypadku \(\displaystyle{ y=5x-3}\) współczynnik kierunkowy stanowi tangens kąta nachylenia prostej do osi OX więc; \(\displaystyle{ tg\alpha=5}\)
\(\displaystyle{ \alpha=78^{o}42'}\) dotego jesze dodać te 45° obliczasz tangens \(\displaystyle{ tg123^{o}42'=-1,499436745}\) w zaokrągleniu -1,5 więc równanie stycznej ma postać \(\displaystyle{ y=-1,5+b}\) współczynnik b oblixczysz podstawiając do równania okręgu tzn:
\(\displaystyle{ x^{2}+(b-1,5)^{2}-8x-10(b-1,5x)+28=0}\) jest przy tym warunej zeby
\(\displaystyle{ \Delta=0}\) czyli \(\displaystyle{ (7-3b)^{2}-4{\cdot}3,25{\cdot}(28-10b)=0}\)