Mamy wektory \(\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \mathbb R^{3}}\)
Moje pytanie, to z czego wynika taka równość:
\(\displaystyle{ | \vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{a}+ \vec{c}| = | (\vec{a}, \vec{b}+\vec{c}, \vec{a} +\vec{c}) + (\vec{b},\vec{b}+\vec{c}, \vec{a} +\vec{c}) |}\)
Potrzebne jest mi to do rozwiązania tego zadania.
Chciałbym, żeby przeszło to bez dodatkowego dowodu. Znajdzie się proste uzasadnienie?
Pozdrawiam.
Iloczyn mieszany
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Iloczyn mieszany
Liniowość wyznacznika macierzy w uproszczeniu polega na tym:
\(\displaystyle{ det\left(\begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ ... \\ ... \\a_k+b_k \\ ... \\ c_n\end{array}\right)=det\left(\begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ ... \\ ... \\a_k \\ ... \\ c_n\end{array}\right)+det\left(\begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ ... \\ ... \\b_k \\ ... \\ c_n\end{array}\right)}\)
(\(\displaystyle{ c_1,c_2,...,c_k=a_k+b_k,...,c_n}\) to wektory stanowiace wiersze rozważanej macierzy).
To jedna z podstawowych własności wyznacznika. Wykorzystujesz ją w momencie, kiedy masz w liczonym po lewej stronie wyznaczniku (iloczynie mieszanym) w jednym z wierszy sumę współrzędnych wektorów \(\displaystyle{ \vec{a},\vec{b}}\) - wzgledem tego wiersza "rozbijasz" na te dwa wyznaczniki (wiem, że to trochę pokrętne , mam nadzieję, że da się wywnioskować, o co chodzi).
\(\displaystyle{ det\left(\begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ ... \\ ... \\a_k+b_k \\ ... \\ c_n\end{array}\right)=det\left(\begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ ... \\ ... \\a_k \\ ... \\ c_n\end{array}\right)+det\left(\begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ ... \\ ... \\b_k \\ ... \\ c_n\end{array}\right)}\)
(\(\displaystyle{ c_1,c_2,...,c_k=a_k+b_k,...,c_n}\) to wektory stanowiace wiersze rozważanej macierzy).
To jedna z podstawowych własności wyznacznika. Wykorzystujesz ją w momencie, kiedy masz w liczonym po lewej stronie wyznaczniku (iloczynie mieszanym) w jednym z wierszy sumę współrzędnych wektorów \(\displaystyle{ \vec{a},\vec{b}}\) - wzgledem tego wiersza "rozbijasz" na te dwa wyznaczniki (wiem, że to trochę pokrętne , mam nadzieję, że da się wywnioskować, o co chodzi).