Równania ogólne, parametryczne płaszczyzny

[Pan Mak]

Napisz równania ogólne, parametryczne płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\), która:
a) przechodzi przez punkt P = (1;-2; 0) i jest prostopadła do wektora n = [0;-3; 2],

Czy mógłby mi to ktos wytłumaczyc? nie wiem skad mam wziasc te wektory prostopadłe do zapisania parametrycznego rownania. Jest jakis sposob zeby je w miare łatwo policzyc?

Z Góry dziekuje.

[maciejsporysz]

Masz wektor prostopadły, masz prawie równanie płaszczyzny.
\(\displaystyle{ 0 \cdot x-3 \cdot y+2 \cdot z+D=0}\)
Masz tylko wyliczyć parametr D, czyli zagwarantować przechodzenie płaszczyzny przez punkt P.
\(\displaystyle{ -3y+2z+D=0 \Rightarrow D=-6}\), czyli równanie płaszczyzny to:
\(\displaystyle{ -3y+2z-6=0}\)
A teraz parametrycznie, wylicz jedną ze zmiennych z równania płaszczyzny, np z.
z=1,5y+3.
Odpowiedź:
x=t,
y=s,
z=1,5s+3

[Pan Mak]

W ksiazce sa troche inne odpowiedzi. Ale pomijajac to skad wziales tam t i s? Własnie o policzenie tego parametrycznego mi chodzi tak bardziej łopatologicznie.

[maciejsporysz]

A jakie są odpowiedzi?

[Pan Mak]

(x,y,z)=(1,-2,0) +s(1,0,0)+t(0,2,3) Takie

[maciejsporysz]

To moim zdaniem w książce jest błąd

[Pan Mak]

no mniejsza z Tym chodzi mi o to jak doprowadziles do tych s i t? skad to wytrzasnałes? z wektorow prostopadłych jakos?

[maciejsporysz]

No to nie jest jakąś wielką sztuką. Przecież x nie ma w równaniu płaszczyzny, więc może być dowolne (parametr t). Z równania płaszczyzny wyznaczamy dowolną zmienną, a tą drugą przyjmujemy jako parametr.
II sposób \(\displaystyle{ \left( x,y,z \right) = (x,y,1.5y+3)= (x,0,0)+(0,y,1.5y)+(0,0,3)}\)
teraz wystarczy tylko wyciągnąć przed nawias x oraz y i równanie parametryczne gotowe.