wyznaczyć równanie prostej

[tomi140]

Dane są dwie proste skośne:

\(\displaystyle{ L_{1}: \frac{x}{1}= \frac{y}{2}= \frac{z}{2}}\)
\(\displaystyle{ L _{2}: \frac{x-1}{2}= \frac{y}{1}= \frac{z}{2}}\).

Napisać równania prostej, która jest prostopadła do tych prostych i przecina je.

Obliczyłem iloczyn wektorowych dwóch prostych \(\displaystyle{ \vec{k}=[2,2,-3]}\)

niestety nie wiem co dalej z tym zrobić.

[Crizz]

Można tak:
Wyznacz płaszczyznę równoległą do obu prostych, przechodzącą przez \(\displaystyle{ L_1}\) (wektor normalny do tej płaszczyzny już obliczyłeś)
Znajdź rzut prostej \(\displaystyle{ L_2}\) na tę płaszczyznę
Szukana prosta musi przechodzić przez punkt wspólny otrzymanego rzutu i prostej \(\displaystyle{ L_1}\) (a jej wektor kierunkowy masz już obliczony)

[tomi140]

właśnie nie wiem co to jest ten rzut. możesz mi to wytłumaczyć?

[Crizz]

OK, to może zaproponuję inny sposób:
przedstawiasz te dwie proste w postaci parametrycznej, dostajesz:
\(\displaystyle{ L_1: \begin{cases} x=t \\ y=2t \\ z=2t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ L_2: \begin{cases} x=2s+1 \\ y=s \\ z=2s \end{cases}}\)

Poszukaj teraz wektora, który:
jest równoległy do wektora \(\displaystyle{ \vec{k}}\) (jak można zapisać warunek równoległości dwóch wektorów?)
Ma początek w pewnym punkcie \(\displaystyle{ A(t,2t,2t)}\) prostej \(\displaystyle{ L_1}\), a koniec w pewnym punkcie \(\displaystyle{ B(2s+1,s,2s)}\) prostej \(\displaystyle{ L_2}\)

Dostaniesz układ trzech równań z trzema niewiadomymi. Szukana prosta musi przechodzić przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) (do wyznaczenia równania tej prostej weź dowolny z tych punktów).