napisać równanie płaszczyzny

[tomi140]

napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A(-2,1,-3)}\) i prostą
L: na którą składają się dwie proste \(\displaystyle{ x-y+1 = 0}\) i \(\displaystyle{ x + 2y z +8 = 0}\)

[alfgordon]

czy takie jest równanie tej prostej? (chodzi mi o \(\displaystyle{ yz}\))
czy jest to równanie krawędziowe prostej

[tomi140]

tzn. to są dwa równania jednej prostej L, powinno to być zapisane w klamerce jak zapisuje się układy równań ale nie potrafiłem tego zrobić

[maciejsporysz]

Raczej to nie są proste, a płaszczyzny. To one tworzą prostą (jest to tzw równanie krawędziowe prostej L).
Co do rozwiązania to możesz postąpić następująco:
Potrzebujesz dwa wektory niewspółliniowe, jeden z prostej L, jeden związany z punktem A i oczywiście punkt A.
Rozwiąż układ równań do prostej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=x+1 \\z=-3x-10 \end{cases}}\)
Na prostej L leżą więc punkty o współrzędnych \(\displaystyle{ (x,x+1,-3x-10)=(0,1,-10)+x(1,1,-3)}\)
Wektor \(\displaystyle{ \left[ 1,1,-3\right]}\) posłuży nam do wyznaczenia prostej.
Drugi z wektorów to:
\(\displaystyle{ \left[ 0-(-2),1-1,-10-(-3)\right]=\left[ 2,0,-7\right]}\)
Stąd płaszczyzna to zbiór punktów \(\displaystyle{ \left( -2,1,-3\right)+t \cdot \left[ 1,1,-3\right]+s \cdot \left[ 2,0,-7\right]}\)

[tomi140]

a czy mogę zrobić to w taki sposób:
z tych dwóch płaszczyzn mamy odpowiednio dwa wektory, dla pierwszej [1,-1,0] a dla drugiej [1,2,-1]
i teraz obliczę iloczyn wektorowy tych dwóch wektorów. One wyznaczą mi wektor prostopadły do szukanej płaszczyny, następnie znajdę wspólny punkt tych płaszczyzn i oblicze równanie szukanej płaszczyzn. Dobrze myśle?

[maciejsporysz]

Myślę, że nie, ponieważ podane wektory są prostopadłe do płaszczyzn tworzących prostą L.

[Crizz]

Jasne, że nie, bo z tego iloczynu otrzymasz wektor kierunkowy podanej prostej, który jest wektorem szukanej płaszczyzny (jest do niej równoległy, a nie prostopadły).

[tomi140]

skąd się wzieło \(\displaystyle{ [1,1,-3]}\)?-- 6 kwi 2011, o 19:24 --szczerze mówiąc to nie mam pojęcia jak to rozwiązać. możesz rozwiązać to krok po kroku, może wtedy zrozumiem

[maciejsporysz]

Ale opierając się na Twoim pomyśle, możesz zrobić iloczyn skalarny (bo on gwarantuje prostopadłość) opierając się na dwóch podanych przeze mnie wektorach.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \left[ 1,1,-3\right] \cdot \left[ a,b,c \right]=0 \\ \left[ 2,0,-7\right] \cdot \left[ a,b,c \right] =0\end{cases}}\)
Rozwiązując ten układ równań dostaniesz np.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a=7c \\ b=3c-a \end{cases}}\)
Możesz przyjąć, że \(\displaystyle{ c=2}\). Wtedy \(\displaystyle{ a=7}\), \(\displaystyle{ b=-1}\)
Masz wektor prostopadły do szukanej płaszczyzny, więc jej równanie to:
\(\displaystyle{ 7x-y+2z+D=0}\)
Teraz wyliczasz wartość parametru \(\displaystyle{ D}\) tak, by punkt A leżał na płaszczyźnie.

[tomi140]

a jak wyznaczyłeś te 2 wektory? skąd? możesz mi to pokazać?

[maciejsporysz]

Pierwszy to nic innego jak rozwiązanie układu równań definiujących prostą.
Przykład x-y=1, x-z-4=0. Te dwie płaszczyzny definiują prostą. Rozwiązując układ równań dostaniemy y=x-1, z=x-4. Skoro tak, to aby dowolny punkt (x,y,z) należał do prostej musi być postaci: (x,x-1,x-4).
I dalej możesz rozdzielić to na sumę (x,x,x)+(0,-1,-4). Wyciągając z pierwszego składnika x, otrzymasz x(1,1,1)+(0,-1,-4). Więc wektorem definiującym prostą jest [1,1,1]. Ta druga część to punkt należący do prostej (możemy przyjąć, że nazywa się B).
Drugi wektor to wektor wyznaczony na podstawie punktu A i B.