Witam, Prosiłbym o pomoc z następującym zadankiem:
Prosta \(\displaystyle{ k}\), do której należy punkt \(\displaystyle{ A=(2,5)}\) przecina parabolę o równaniu \(\displaystyle{ y=x ^{2}}\) w dwóch różnych punktach \(\displaystyle{ B=(x _{1},y _{1})}\) oraz \(\displaystyle{ C=(x _{2},y _{2})}\) Wyznacz wsp. kierunkowy prostej \(\displaystyle{ k}\) tak, aby suma rzędnych punktów \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) przyjmowała najmniejszą wartość.
współczynnik kierunkowy prostej
-
s0ull
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 13 lis 2010, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło
- Podziękował: 50 razy
współczynnik kierunkowy prostej
Ostatnio zmieniony 5 kwie 2011, o 17:41 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
ostryo
współczynnik kierunkowy prostej
\(\displaystyle{ y=ax+b}\) Wiemy, ze przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A(2,5)}\) to
\(\displaystyle{ y=ax-2a+5}\)
Teraz \(\displaystyle{ ax-2a+5=x^2}\)
\(\displaystyle{ x^2-ax+2a-5=0}\)
Suma rzednych tych punktow to \(\displaystyle{ ax_1 -2a+5 +ax_2 -2a+5 = a(x_1+x_2)-4a+10}\)
\(\displaystyle{ x_1+x_2 =a}\)
Pozostaje znalezc wartosc minimalna dla wyrazenia \(\displaystyle{ a^2-4a+10}\)
\(\displaystyle{ y=ax-2a+5}\)
Teraz \(\displaystyle{ ax-2a+5=x^2}\)
\(\displaystyle{ x^2-ax+2a-5=0}\)
Suma rzednych tych punktow to \(\displaystyle{ ax_1 -2a+5 +ax_2 -2a+5 = a(x_1+x_2)-4a+10}\)
\(\displaystyle{ x_1+x_2 =a}\)
Pozostaje znalezc wartosc minimalna dla wyrazenia \(\displaystyle{ a^2-4a+10}\)
Ostatnio zmieniony 5 kwie 2011, o 17:52 przez ostryo, łącznie zmieniany 1 raz.
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
współczynnik kierunkowy prostej
Wskazówki:
1) z założenia wynika, że prosta \(\displaystyle{ k}\) ma równanie postaci \(\displaystyle{ y=ax+5-2a}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\),
2) prosta \(\displaystyle{ k}\) ma dwa punkty wspólne z parabolą, zatem równanie \(\displaystyle{ x^2=ax+5-2a}\) (równoważnie \(\displaystyle{ x^2-ax+2a-5=0}\)) ma dwa różne rozwiązania \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) - wyznacz odpowiednie warunki,
3) z założenia mamy także \(\displaystyle{ y_1=x_1^2, y_2=x_2^2}\); należy wyznaczyć, dla jakiego \(\displaystyle{ k}\), spełniającego warunki 2), wyrażenie \(\displaystyle{ y_1+y_2=x_1^2+x_2^2}\) ma najmniejszą wartość; wykorzystaj wzory Viete'a.
1) z założenia wynika, że prosta \(\displaystyle{ k}\) ma równanie postaci \(\displaystyle{ y=ax+5-2a}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\),
2) prosta \(\displaystyle{ k}\) ma dwa punkty wspólne z parabolą, zatem równanie \(\displaystyle{ x^2=ax+5-2a}\) (równoważnie \(\displaystyle{ x^2-ax+2a-5=0}\)) ma dwa różne rozwiązania \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) - wyznacz odpowiednie warunki,
3) z założenia mamy także \(\displaystyle{ y_1=x_1^2, y_2=x_2^2}\); należy wyznaczyć, dla jakiego \(\displaystyle{ k}\), spełniającego warunki 2), wyrażenie \(\displaystyle{ y_1+y_2=x_1^2+x_2^2}\) ma najmniejszą wartość; wykorzystaj wzory Viete'a.