Zad. 1
Odcinek AB o końcach A(-2;-1) B(2;3) jest podstawą trójkąta ABC. Wierzchołek C należy do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)= x ^{2} + 6x + 10}\). Wyznacz C tak aby pole trójkąta było ABC było najmniejsze. Wyznacz to pole.
Odcinek AB
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Odcinek AB
Nasz punkt C ma współrzędne: \(\displaystyle{ C(x , x^2+6x+10)}\)
Teraz liczymy pole trójkąta z wyznaczników wektorów:
\(\displaystyle{ \vec{AB} = [4 , 4]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC} = [x+2 , x^2+6x+11]}\)
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}|det(\vec{AB},\vec{AC})| = \frac{1}{2}|4x^2+24x+44-4x-8| = |2x^2+10x+18| = 2x^2+10x+18}\)
Opuszczamy wartość bezwzględną, ponieważ nasza funkcja kwadratowa nigdy nie przyjmie wartości ujemnej. Teraz wystarczy obliczyć dla jakiego x funkcja przyjmuje najmniejszą wartość, taką wartość przyjmuje w wierzchołku:
\(\displaystyle{ p = \frac{-b}{2a} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}}\)
\(\displaystyle{ (-\frac{5}{2})^2 + 6 \cdot (-\frac{5}{2}) + 10 = \frac{25}{4} - 15 + 10 = \frac{25}{4}-5 = \frac{5}{4}}\)
Czyli współrzędne wierzchołka C to \(\displaystyle{ (-\frac{5}{2} ; \frac{5}{4})}\) a pole wynosi:
\(\displaystyle{ P = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{44}{8} = \frac{11}{2} [j^2]}\)
Pozdrawiam.
Teraz liczymy pole trójkąta z wyznaczników wektorów:
\(\displaystyle{ \vec{AB} = [4 , 4]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC} = [x+2 , x^2+6x+11]}\)
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}|det(\vec{AB},\vec{AC})| = \frac{1}{2}|4x^2+24x+44-4x-8| = |2x^2+10x+18| = 2x^2+10x+18}\)
Opuszczamy wartość bezwzględną, ponieważ nasza funkcja kwadratowa nigdy nie przyjmie wartości ujemnej. Teraz wystarczy obliczyć dla jakiego x funkcja przyjmuje najmniejszą wartość, taką wartość przyjmuje w wierzchołku:
\(\displaystyle{ p = \frac{-b}{2a} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}}\)
\(\displaystyle{ (-\frac{5}{2})^2 + 6 \cdot (-\frac{5}{2}) + 10 = \frac{25}{4} - 15 + 10 = \frac{25}{4}-5 = \frac{5}{4}}\)
Czyli współrzędne wierzchołka C to \(\displaystyle{ (-\frac{5}{2} ; \frac{5}{4})}\) a pole wynosi:
\(\displaystyle{ P = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{44}{8} = \frac{11}{2} [j^2]}\)
Pozdrawiam.