Odległość punktu

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
wojtek993
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 17 paź 2009, o 15:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Odległość punktu

Post autor: wojtek993 »

Oblicz odległość punktu P(2, -3) od prostej k: 2x - 4y + 1 = o
loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3050
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 816 razy

Odległość punktu

Post autor: loitzl9006 »

Odległość to odcinek od tego punktu \(\displaystyle{ P}\), zawierający się w prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ k}\). Wyznaczmy wzór prostych prostopadłych do \(\displaystyle{ k}\):

\(\displaystyle{ k: 4y=2x+1}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{1}{2} x + \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ y=ax+b}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ b=\frac{1}{4}}\)

prosta prostopadła \(\displaystyle{ l}\) : \(\displaystyle{ y =a _{1} x+b _{1}}\)

Warunek prostopadłości:

\(\displaystyle{ a _{1} \cdot a=-1}\)

Wyliczysz \(\displaystyle{ a _{1}}\) , potem korzystając z tego, że \(\displaystyle{ P \in l}\)

czyli \(\displaystyle{ x=2}\) , \(\displaystyle{ y=-3}\)

wyliczysz brakujący współczynnik \(\displaystyle{ b _{1}}\) prostej \(\displaystyle{ l}\) .

Mając wzór prostych: \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ k}\), ustalasz punkt ich przecięcia (nazwijmy\(\displaystyle{ S}\) ) , rozwiązując układ równań.

Mając współrzędne punktów \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ P}\), można ułożyć z nich wektor \(\displaystyle{ \vec{SP}}\) , którego długość jest rozwiązaniem zadania.
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Odległość punktu

Post autor: Crizz »

Dobrze jest zapamiętać gotowy wzór na odległość punktu \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) od prostej \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\):
\(\displaystyle{ d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}\)
ODPOWIEDZ