Suma długości dwóch odcinków najmniejsza

[s0ull]

Witam, prosiłbym o pomoc z następującym zadaniem:

Dane są punkty A=(2,0) i B=(6,2). Na prostej k: x-y=0 wyznacz taki punkt P, aby suma długości odcinków AP i BP była najmniejsza.

[Errichto]

\(\displaystyle{ x-y=0\\y=x}\)
Czyli trzeci punkt ma współrzędne \(\displaystyle{ (x,x)}\)
Policzmy sumę odległości:
\(\displaystyle{ (x-2)^2+x^2+(x-6)^2+(x-2)^2}\)
Doprowadź do postaci \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\).
Będziesz miał parabolę z ramionami do góry.
Ta odległość musi być jak najmniejsza czyli musisz złapać wierzchołek paraboli.

[s0ull]

Czyli można sobie te odległości podnieść do kwadratu? Bo własnie to było dla mnie problemem: nie bardzo wiedziałem co zrobić z pierwiastkami ze wzoru na dł. odcinka.

[norwimaj]

Nie można niestety.-- 29 mar 2011, o 22:41 --To znaczy, pewien nie jestem czy wynik nie wyjdzie taki sam, ale nie widzę uzasadnienia, dlaczego tak by można było. Jeśli chcesz podpowiedź, to niech \(\displaystyle{ B'}\) będzie obrazem punktu \(\displaystyle{ B}\) w symetrii względem prostej \(\displaystyle{ x-y=0}\). Znajdź odległość pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) a \(\displaystyle{ B'}\).

[s0ull]

I będzie ona równa sumie odległości AP i BP?

[norwimaj]

Będzie równa najmniejszej sumie odległości \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ BP}\). To dlatego, że suma odległości \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ BP}\) to to samo, co suma odległości \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ B'P}\). A ta suma jest najmniejsza, gdy \(\displaystyle{ P}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ AB'}\).-- 29 mar 2011, o 23:04 --Oczywiście to przy założeniu, że \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) leżą po tej samej stronie prostej. W tym zadaniu tak jest.

[s0ull]

Już rozumiem Dzięki serdeczne. Spotkałem się już kiedyś z takim rozwiązaniem, ale właśnie nie bardzo wiedziałem skąd się to bierze.

[Errichto]

Nie opisałem tego, ale można tak robić.
Odległość to \(\displaystyle{ \sqrt{(x-2)^2+x^2+(x-6)^2+(x-2)^2}}\) i mamy znaleźć najmniejszą wartość. Zarówno pierwiastek jak i wyrażenie pod pierwiastkiem są dodatnie, także policzenie minimum z kwadratu odległości zawsze da nam poprawny wynik.

[norwimaj]

Lecz czy minimalizowanie \(\displaystyle{ \sqrt{(x-2)^2+x^2}+\sqrt{(x-6)^2+(x-2)^2}}\) to to samo, co minimalizowanie \(\displaystyle{ \sqrt{(x-2)^2+x^2+(x-6)^2+(x-2)^2}}\)?

W Twoim wynik wychodzi \(\displaystyle{ x=\frac{5}{2}}\), a z moich geometrycznych rozważań mamy \(\displaystyle{ x=2}\).

[Errichto]

Ja minimalizuję \(\displaystyle{ \sqrt{(x-2)^2+x^2+(x-6)^2+(x-2)^2}}\).
A Ty co minimalizujesz? Sumę pierwiastków?

[norwimaj]

Tak, bo suma długości odcinków to jest suma pierwiastków.

[Errichto]

No racja.
A ja tak jakby liczyłem odległość między punktami i w ogóle pomieszałem.
Mój błąd.