Współliniowość punktów, wyznacznik

[izaizaiza]

W żadnej mądrej książce ani też w Internecie nie mogę znaleźć odpowiedzi na moje pytanie, więc może tutaj uda się komuś rostrzygnąć ten problem. Sytuacja wygląda tak: mam 3 pukty \(\displaystyle{ A( x_{1}, y_{1}), B( x_{2}, y_{2}) i C(x_{3}, y_{3})}\). Układam macierz 3x3 i liczę wyznacznik.
- Jeśli wynosi 0 wówczas punkty te leżą na jednej prostej
- Jeśli jest większy niż 0 to punkt C leży po lewej stronie wektora \(\displaystyle{ AB \rightarrow}\)
- Jeśli jest mniejszy niż 0 to punkt C leży po prawej stronie wektora \(\displaystyle{ AB \rightarrow}\)

A kiedy punkt C będzie leżał na prostej prostopadłej do wektora AB? Chodzi mi o to, czy da się to ustalić na podstawie wyznacznika (bez użycia iloczynu skalarnego, podstawiania do równania prostej prostopadłej itp.).


Z góry dzięki za odpowiedź.

[norwimaj]

Układam macierz 3x3 i liczę wyznacznik.

Co znajduje się w tej macierzy? Domyślam się że nie wypełniasz jej losowymi liczbami.

Ponieważ tego nie napisałaś, trudno jest mi powiedzieć, jaki wyznacznik liczysz. Mogę tylko zgadywać, że temat wiąże się z iloczynem wektorowym.

A kiedy punkt C będzie leżał na prostej prostopadłej do wektora AB? Chodzi mi o to, czy da się to ustalić na podstawie wyznacznika (bez użycia iloczynu skalarnego, podstawiania do równania prostej prostopadłej itp.).

Iloczyn skalarny wydaje mi się najszybszym narzędziem do rozstrzygania prostopadłości. Za pomocą iloczynu wektorowego jest dużo trudniej, bo trzeba sprawdzić, czy \(\displaystyle{ \left|\vec A\times \vec B\right|=\left|\vec A\right|\cdot\left| \vec B\right|}\).

[izaizaiza]

Chodzi mi o taką macierz:

\(\displaystyle{ \left| x_{1} y_{1} 1 \right|}\)
\(\displaystyle{ \left| x_{2} y_{2} 1 \right|}\)
\(\displaystyle{ \left| x_{3} y_{3} 1 \right|}\)

[norwimaj]

Dobrze. Wyznacznik tej macierzy, to byłaby współrzędna \(\displaystyle{ z}\) iloczynu wektorowego, jeśliby to zanurzyć w trójwymiarowy układ współrzędnych. Co do badania prostopadłości wektorów, nie zmieniam zdania. Lepiej jest to robić iloczynem skalarnym.

[izaizaiza]

Pewnie i lepiej, mam po prostu sentyment do wyznaczników:).