Oblicz cosinus kąta ACB

[Kangoo]

1. W trójkącie równoramiennym ABC (|AC| = |BC|) dane są: wierzchołek \(\displaystyle{ C= \left( -5,3\right)}\) oraz wektory \(\displaystyle{ \vec{CD} =\left[ -6,4\right]}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{AB} = \left[ 4,6\right]}\) gdzie CD jest wysokością trójkąta poprowadzoną z wierzchołka C. Oblicz cosinus kąta ACB.

2. Niech E,F,G,H będą odpowiednio środkami boków AB,BC,CD i DA czworokąta ABCD. Uzasadnij, że wektor \(\displaystyle{ \vec{HE}= \vec{GF}}\)

3. Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^{2} + \left( y+1\right)^{2} = 4}\) przechodzących prez punkt \(\displaystyle{ P = \left( -4,1\right)}\)

4. Punkty \(\displaystyle{ B = \left( 7,-4\right) i D= \left( 9,8\right)}\) są przeciwległymi wierzchołkami rombu ABCD, którego bok ma długość 10. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.

Proszę o pomoc, jutro mam sprawdzian i mają być zadania tego rodzaju, a ja prawie nic z tego nie rozumiem, bo mnie nie było w szkole gdy było to tłumaczone.

[Crizz]

1. Zacznij od wyznaczenia punktu B (przesuń punkt \(\displaystyle{ D}\) o wektor \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\vec{AB}}\)). Możesz też wyznaczyć wektory \(\displaystyle{ \vec{CA}=\vec{CD}-\frac{1}{2}\vec{AB},\vec{CB}+\frac{1}{2}\vec{AB}}\), a potem wyliczyć cosinus rozważanego kąta z ich iloczynu skalarnego.

3. Zapisz ogólnie wzór prostej w postaci \(\displaystyle{ y=ax+b}\). Podstaw współrzędne podanego punktu do tego równania. Wyznacz z tego równania \(\displaystyle{ b}\) i wstaw wynik do wyjściowego równania prostej.

Z równania prostej i równania okręgu utwórz układ równań. Sprawdź, kiedy ten układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie.

4. Zacznij od wyznaczenia prostej \(\displaystyle{ BD}\) oraz prostej \(\displaystyle{ l}\) zawierającej drugą przekątną rombu. Potem spróbuj wyznaczyć wektor \(\displaystyle{ \vec{BC}}\) (wiesz, jaką powinien mieć długość oraz jaką postać mają współrzędne \(\displaystyle{ C}\), skoro \(\displaystyle{ C\in l}\)).

Jeśli coś tutaj jest niejasne, to pytaj.

[Kangoo]

W zadaniu pierwszym obliczyłem to co mi podałeś, do tego jeszcze długości wektorów \(\displaystyle{ \vec{AC} i \vec{BC}}\), następnie skorzystałem z iloczynu skalarnego (przyrównałem równanie z cosinusem i to ze współrzędnymi), przekształciłem i wyszło mi, że \(\displaystyle{ cos = - \frac{39}{65}}\)

-- 20 mar 2011, o 22:20 --

nie rozumiem troszkę w zadaniu 3. Skąd wezmę wyjściowe równanie prostej? W treści mam tylko równanie okręgu

[piasek101]

3) I podany punkt. Zastosuj podpowiedź - słowo w słowo lub każ szukanej (tej z podpowiedzi) być odległą od środka okręgu o promień.

[Crizz]

Co do tego cosinusa, to obliczyłem to na szybko i wydaje mi się, że wyjść z plusem. Sprawdź jeszcze obliczenia. Ten ułamek da się poza tym jeszcze skrócić.

[Kangoo]

3 zrobiłem, skorzystałem z wzoru na odległość punktu od prostej

w 1 nie widzę nigdzie żebym się walnął w obliczeniach, tobie wyszło 39/65?

W jaki sposób wyznaczyć prostą l w zadaniu 4 ?

[Crizz]

Hmm... wyszły mi wektory \(\displaystyle{ [-8,1]}\) oraz \(\displaystyle{ [-4,7]}\). Jeszcze raz zauważam, że ten ułamek można jeszcze skrócić

Co do zadania czwartego: jakie własności mają przekątne rombu?

[Kangoo]

mam takie same wektory

chodzi o to, że przecinają się w połowie pod kątem prostym ?

[Crizz]

\(\displaystyle{ (-8) \cdot (-4)+1 \cdot 7=39}\), a to dzielisz przez iloczyn długości tych wektorów, który jest dodatni.

Dokładnie o te własności chodzi.

[Kangoo]

Później sprawdziłem i w jednym miejscu faktycznie zapomniałem dać (-) i w efekcie wyszło mi ujemne ;p

Dzięki Ci wielkie Crizz