Pole części wspólnej dwóch kół

[ginga]

Oblicz pole figury \(\displaystyle{ A \cap B}\), gdzie \(\displaystyle{ A={(x,y): x,y \in IR}\) i \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-4x-2y+1 \le 0}}\), zaś \(\displaystyle{ B}\) jest obrazem zbioru \(\displaystyle{ A}\) w przesunięciu równoległym o wektor \(\displaystyle{ [-2,2]}\).

Zbiór \(\displaystyle{ A}\) to koło o środku w punkcie \(\displaystyle{ S=(1,2)}\) i promieniu równym \(\displaystyle{ r=2}\). Doszłam jeszcze do tego, że zbiór \(\displaystyle{ B}\) to również koło o takim samym promieniu i \(\displaystyle{ S=(-1,4)}\). Narysowałam rysunek. Wiem, że szukam części wspólnej tych dwóch kół. Nie mam zielonego pojęcia co dalej. Zapisałam układ dwóch nierówności z dwoma niewiadomymi, ale nie umiem takich rzeczy rozwiązywać. Jeśli komuś to pomoże jest to zadanie nr 457 z nowej Kiełbasy do R. Proszę o pomoc

[TheBill]

Zbiór \(\displaystyle{ A}\) to koło o środku w punkcie \(\displaystyle{ S=(1,2)}\) i promieniu równym \(\displaystyle{ r=2}\)

Na pewno?

[ginga]

Masz rację. Mój błąd. Zmieniają się współrzędne środków, ale ja dalej nie wiem, jak obliczyć część wspólną tych dwóch kół ;( \(\displaystyle{ S=(2,1)}\) a \(\displaystyle{ S'=(0,3)}\). Teraz mam dwa okręgi wzorach:
\(\displaystyle{ S: (x-2)^{2}+(y-1)^{2} \le 4}\) a drugi \(\displaystyle{ S': x^{2}+(y-3)^{2} \le 9}\). Mam nadzieję, że teraz rachunki się zgadzają. Co teraz?

[Errichto]

Jeśli od \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) pola koła odejmiesz pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych r, r, to otrzymasz pole połowy części wspólnej.
Jeśli takie wyjaśnienie nie starczy, to mogę wyjaśnić bardziej szczegółowo i z rysunkiem.

[ginga]

Errichto - będę wdzięczna za rysunek i głębsze tłumaczenie. Nie "widzę" tego, że tak powiem... Faktycznie tak jest, pasuje mi to do poprzedniego rysunku vel błędnych obliczeń. Jeśli teraz moje obliczenia są poprawne...

[Errichto]

Wyliczymy pole zakreskowanego obszaru.
Widać, że zakreskowany obszar razem z pogrubionym trójkątem da nam czwartą część koła po prawej (prawy dół).
Trójkąt jest prostokątny, równoramienny, z przyprostokątną równą r.
Pole trójkąta wynosi zatem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}r ^{2}}\)
Pole wycinka koła, który jest sumą zakreskowanego obszaru i pogrubionego trójkąta to \(\displaystyle{ \frac{1}{4} \pi r ^{2}}\)
Mamy zatem:
\(\displaystyle{ x+\frac{1}{2}r ^{2}=\frac{1}{4} \pi r ^{2}}\)
gdzie x to pole zakreskowanego czyli połowa szukanego pola części wspólnej.
Jeśli coś dalej niejasne to pisz.

[ginga]

Dziękuję Ci bardzo za pomoc. Tylko, że to nie te dane. Wszystko było ładnie, ale zrobiłam błąd rachunkowy - dane z pierwszego postu są błędne. Jeśli dobrze się "doliczyłam"...

( \(\displaystyle{ S=(2,1)}\) a \(\displaystyle{ S'=(0,3)}\). Teraz mam dwa okręgi wzorach:
\(\displaystyle{ S: (x-2)^{2}+(y-1)^{2} \le 4}\) a drugi \(\displaystyle{ S': x^{2}+(y-3)^{2} \le 9}\).

Zrobiłam rysunek... i nic dalej nie mogę wymyślić.

[Errichto]

Coś mi się wydaje, że jednak jest ok.
Za jakiś czas jeszcze się przyjrzę.

[MarcoRs]

Dlaczego zwiększyłaś promień okręgu o środku S'?

[Errichto]

A:
\(\displaystyle{ (x-2) ^{2}+(y-1) ^{2} \le 4}\)
Czyli \(\displaystyle{ S_{1} (2,1)}\), \(\displaystyle{ r_{1}=2}\)
B:
przesunięcie o [-2,2] czyli r pozostanie takie samo, \(\displaystyle{ S_{2}(0,3)}\).
Jeśli potrzebna nierówność drugiego koła to \(\displaystyle{ ((x+2)-2) ^{2}+((y-2)-1) ^{2} \le 4}\) czyli \(\displaystyle{ (x) ^{2}+(y-3) ^{2} \le 4}\)

[ginga]

MarcoRs - dobre pytanie. Może spróbuję po prostu przedstawić swój tok rozumowania...

Zaczęłam od "zwinięcia" wzoru na koło.
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-4x-2y+1 \le 0}\)
\(\displaystyle{ (x-2)^{2}+(y-1)^2 \le 4}\)
Z tego wyłapałam środek \(\displaystyle{ S=(2,1)}\) i promień \(\displaystyle{ r=2}\)

Potem przesunęłam środek o wektor \(\displaystyle{ v=[-2,2]}\). Dostałam \(\displaystyle{ S'=(0,3)}\).

Podstawiłam dane do wzoru na koło.
\(\displaystyle{ B: x^{2}+(y-3)^{2} \le 9}\) Też mi się na początku wydawało, że promień powinien być ten sam... macie rację, promień powinien być ten sam. Czyli dostajemy \(\displaystyle{ B: x^{2}+(y-3)^2 \le 4}\)

I faktycznie teraz można to zrobić tak jak podał Eriichto Do dzieła...
\(\displaystyle{ P _{trojkata} = 0,5*2*2=2}\)
\(\displaystyle{ P _{wycinka} = 0,25* \pi *2^{2}= \pi}\)
\(\displaystyle{ P _{czesci wspólnej} = 2*(\pi-2)= 2 \pi -4}\)

Dziękuję Wam bardzo za pomoc Nie wiem, dlaczego wpadłam na genialny pomysł "zwiększenia" promienia Odpowiedź jest prawidłowa. Zadanie nr 457 z Kiełbasy rozwiązane.
Pozdrawiam serdecznie