Współrzędna punktu C, gdzie suma jest najmniejsza.

Ujemny · Post autor: **Ujemny** » 17 mar 2011, o 21:25

Witam. mam problem z zadaniem nastepującej tresci:

Dane są punkty A=(1,5), B=(9,3) i prosta o równaniu y = x+1 . Oblicz współrzędne punktu C leżącego na prostej k, dla którego suma \(\displaystyle{ \left|AC \right| ^{2} + \left|BC \right| ^{2}}\) jest najmniejsza.

Ma ktoś jakiś pomysł?

Z góry dziękuje i pozdrawiam.

mateuszek89 · Post autor: **mateuszek89** » 17 mar 2011, o 21:34

Narysuj sobie to w układzie współrzędnych i zauważ, że prosta \(\displaystyle{ y=x+1}\) na której ma leżeć punkt \(\displaystyle{ C}\) przecina się z prostą przechodzącą przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) stąd punkt C będzie miał współrzędne punktu przecięcia tych 2 prostych. pozdrawiam!

Crizz · Post autor: **Crizz** » 18 mar 2011, o 18:53

mateuszek89 pisze:stąd punkt C będzie miał współrzędne punktu przecięcia tych 2 prostych.

Jakoś nie widzę związku.

Ujemny, Przyjmij, że \(\displaystyle{ C=(x,x+1)}\), wyznacz wartość podanego wyrażenia w zależności od \(\displaystyle{ x}\). Otrzymasz funkcję kwadratową, znajdź jej najmniejszą wartość (poszukaj wierzchołka paraboli).

mateuszek89 · Post autor: **mateuszek89** » 18 mar 2011, o 20:27

Jeśli zauważy to co ja napisałem to uniknie obliczeń takich jak Ty napisałeś i nie trzeba tego badać.

Crizz · Post autor: **Crizz** » 18 mar 2011, o 21:38

W dalszym ciągu nie widzę związku między najmniejszą wartością podanego wyrażenia a leżeniem punktu \(\displaystyle{ C}\) na prostej \(\displaystyle{ AB}\). Mógłbyś przedstawić swój tok rozumowania?

mateuszek89 · Post autor: **mateuszek89** » 18 mar 2011, o 22:22

jednak trzeba zrobić tak jak Ty napisałeś. przepraszam za moją głupotę. ogólnie mój błąd polegał na tym, że przeniosłem sytuację szukania minimum \(\displaystyle{ |AC|+|BC|}\) na szukanie minimum tamtej funkcji. A to niestety może i jest mylące. Na początku chciałem zrobić tak jak ty napisałeś, ale później wpadłem na ten durny pomysł Jeszcze raz przepraszam za zamieszanie Crizz i oczywiście masz rację.

Josh · Post autor: **Josh** » 2 kwie 2011, o 15:00

a ja wam mówię, że \(\displaystyle{ C}\) leży na prostej \(\displaystyle{ AB}\),
widać to z twierdzenia o istnienia trójkąta: \(\displaystyle{ a+b>c, a+c>b, b+c>a}\)
to samo dotyczy kwadratów tych długości
miałem to samo zadanie na próbnej, napisałem, że \(\displaystyle{ C}\) musi leżeć na prostej \(\displaystyle{ AB}\), ale nauczyciel powiedział, ze jest inaczej, ale nie potrafił mi też udowodnić, że jest inaczej
nie muszę chyba dodawać, że kiedy \(\displaystyle{ C}\) znajduje się na prostej \(\displaystyle{ AB}\) wtedy te dwa boki (\(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\)) są najmniejsze

Crizz · Post autor: **Crizz** » 2 kwie 2011, o 19:59

Josh pisze: nie muszę chyba dodawać, że kiedy \(\displaystyle{ C}\) znajduje się na prostej \(\displaystyle{ AB}\) wtedy te dwa boki (\(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\)) są najmniejsze

Nie boki są najmniejsze, tylko suma długości tych boków jest najmniejsza.

Josh pisze: nauczyciel powiedział, ze jest inaczej, ale nie potrafił mi też udowodnić, że jest inaczej

Tylko, że to raczej ty powinieneś jemu udowodnić swoją opinię. A udowodnić, że jest inaczej możesz, rozwiązując zadanie powyższym sposobem - wyjdzie inny wynik i tyle.

Josh pisze: widać to z twierdzenia o istnienia trójkąta: \(\displaystyle{ a+b>c, a+c>b, b+c>a}\)
to samo dotyczy kwadratów tych długości

A potrafisz udowodnić, że to samo dotyczy kwadratów tych długości?

To wcale nie jest oczywiste; powiedzmy, że mamy dane współliniowe punkty \(\displaystyle{ A,B,C}\) takie, że \(\displaystyle{ AC=1,BC=5}\). Teraz powiedzmy, że znaleźliśmy takie \(\displaystyle{ C^\prime}\), że \(\displaystyle{ AC^\prime=2,BC^\prime=4,5}\). \(\displaystyle{ AC+BC}\) wzrosło, ale \(\displaystyle{ AC^2+BC^2}\) zmalało.