Równania stycznych

nieznamsie · Post autor: **nieznamsie** » 12 mar 2011, o 20:47

Witam
Zadanie z matury rozszerzonej.

Napisz równanie stycznych do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2=4}\), które przechodzą przez punkt P=[5;4]

Do czego doszedłem:
Narysowałem okrąg i wyznaczyłem środek odcinka OP. Narysowałem okrąg o średnicy połowy długości OP, i tak wyszły mi punkty styczności.

Układ równań:

\(\displaystyle{ (x-1)^2 + (y-1)^2 = 4}\)
\(\displaystyle{ (x-3)^2 + (y-2,5)^2 = 25}\)

Po wymnożeniu i odjęciu od siebie wyszło mi takie coś:

\(\displaystyle{ y= - \frac{4}{3} x + \frac{31}{12}}\)

Teraz powinienem tą funkcje podstawić do tego \(\displaystyle{ (x-3)^2 + (y-2,5)^2 = 25}\)?

Proszę o pomoc bo gubię się

Pozdrawiam

anna_ · Post autor: **anna_** » 12 mar 2011, o 22:08

Styczna ma równanie
\(\displaystyle{ y=ax+b}\)
ponieważ przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ P=(5;4)}\), więć jego swpólrzędne muszą to równanie spełniać, czyli
\(\displaystyle{ 5a+b=4 \Rightarrow b=-5a+4}\)
styczna jest więc postaci:
\(\displaystyle{ y=ax-5a+4}\)

\(\displaystyle{ (x-1)^2 + (y-1)^2 = 4}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^2 + (ax-5a+4-1)^2 = 4}\)
rozwiązujesz równanie
\(\displaystyle{ \Delta=0}\)

kristoffwp · Post autor: **kristoffwp** » 12 mar 2011, o 22:12

Dobrze sprawdza się metoda polegająca na wykorzystaniu faktu, że odległość środka okręgu od stycznej jest równa promieniowi. Należy wyjść od równania ogólnego prostej. Jest zgrabny wzór na tę odległość. Trzeba tylko radzić sobie z równaniami z wartością bezwzględną. Oczywiście wykorzystujesz też informację o punkcie należącym do prostej.

nieznamsie · Post autor: **nieznamsie** » 13 mar 2011, o 11:09

kristoffwp dawaj wzór, trzeba się bezie go nauczyc do matury.

Do nmn:
Nic z tego nie ogarniam, przyznam się. Jakim cudem wyszła Ci delta=0 z poniższego równania?
\(\displaystyle{ (x-1)^{2} + (ax - 5a +3) ^{2} = 4}\)

anna_ · Post autor: **anna_** » 13 mar 2011, o 18:33

Żeby prosta \(\displaystyle{ y=ax-5a+4}\) była styczną do okręgu \(\displaystyle{ (x-1)^2 + (y-1)^2 = 4}\) musi mieć z nim jeden punkt wspólny
czyli równanie \(\displaystyle{ (x-1)^2 + (ax-5a+4-1)^2 = 4}\) musi mieć jedno rozwiązanie.
Trójmian kwadratowy ma jedno rozwiązanie, jeżeli \(\displaystyle{ \Delta=0}\)

kristoffwp · Post autor: **kristoffwp** » 13 mar 2011, o 19:36

nieznamsie pisze:kristoffwp dawaj wzór, trzeba się bezie go nauczyc do matury.

Do nmn:
Nic z tego nie ogarniam, przyznam się. Jakim cudem wyszła Ci delta=0 z poniższego równania?
\(\displaystyle{ (x-1)^{2} + (ax - 5a +3) ^{2} = 4}\)

Najpierw ogarnij metodę podaną przez nmn, ta moja jest chyba trudniejsza do zastosowania, choć rachunki długie nie są.