Określ, ile punktów wspólnych ma prosta l z okręgiem

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Cranniet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 10 lut 2011, o 17:13
Płeć: Kobieta

Określ, ile punktów wspólnych ma prosta l z okręgiem

Post autor: Cranniet »

Byłabym wdzięczna za pomoc :)
----
Dzisiaj przy tablicy:
Profesorka (furia): Olka, nie rozumiem co Ty w ogóle robisz!
Ja (rozpacz): No ja też nie!
Śmiech w klasie i spojrzenie p. Profesor - bezcenne :D
----

b)
\(\displaystyle{ l: 3x+y-8=0 \\
o: x^{2} + y^{2} - 6y+4=0}\)

+ nie rozumiem jak odczytać środek S.
:(
Ostatnio zmieniony 9 mar 2011, o 19:00 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
Awatar użytkownika
JakimPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2401
Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 459 razy

Określ, ile punktów wspólnych ma prosta l z okręgiem

Post autor: JakimPL »

Żeby odczytać środek, należy sprowadzić wyrażenie do postaci \(\displaystyle{ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2}\), gdzie środkiem jest punkt \(\displaystyle{ O=(a,b)}\), korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, na przykład:

\(\displaystyle{ x^2+y^2-6y+4=0 \\ x^2 + \underbrace{\red y^2 \black - 2 \cdot \red y \cdot \blue 3 \black + \blue 9 \black}_{(\red a \black + \blue b \black)^2 = \red a^2 \black - 2 \cdot \red a \cdot \blue b \black + \blue{b^2} \black} - \overbrace{9}^{\text{odejmujemy dopisaną 9}} + 4 = 0 \\ x^2 + (y-3)^2 = 9 - 4 = 5}\)

Natomiast, żeby sprawdzić, ile punktów wspólnych ma prosta i okrąg, z równania prostej wyznaczamy jedną zmienną i podstawiamy do równania okręgu i liczymy deltę:
\(\displaystyle{ y=8-3x}\)

\(\displaystyle{ x^2 + (8-3x-3)^2 = 5 \\ x^2 + (5-3x)^2 -5 = 0 \\ x^2 + 25 - 30 x +9 x^2 - 5 = 0 \\ 10 x^2 - 30 x + 20=0 \\ 10 (x^2 -3 x + 2) = 0 \\ x^2 - 3 x + 2 =0}\)

Jeśli delta jest dodatnia, punkty przecięcia są dwa, jeśli 0 - jeden, ujemna delta oznacza natomiast brak punktów przecięcia. Tu wychodzą dwa punkty o współrzędnych, które można wyliczyć.
Awatar użytkownika
Hausa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 448
Rejestracja: 25 sty 2010, o 17:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Szastarka
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 50 razy

Określ, ile punktów wspólnych ma prosta l z okręgiem

Post autor: Hausa »

\(\displaystyle{ x^2+y^2 - 6y+4=0}\)

\(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\)

(a,b) - współrzędne środka okręgu

po rozpisaniu
\(\displaystyle{ x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2-r^2=0}\)
żeby wyznaczyć środek wybierasz z tego pierwszego równania -2ax oraz -2by. W tym równaniu nie ma żadnego x, czyli 2ax=0, czyli a=0, natomiast -2by=-6y, b=3. Współrzędne środka masz wyliczone.

Wyznacz y z równania prostej i podstaw to do wzoru na równanie okręgu. Otrzymasz równanie kwadratowe, zbadaj ile ma rozwiązań - jak 2 to prosta ma 2 punkty wspólne z okręgiem itd.
Cranniet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 10 lut 2011, o 17:13
Płeć: Kobieta

Określ, ile punktów wspólnych ma prosta l z okręgiem

Post autor: Cranniet »

Hausa, dziękuję. Skorzystałam z Twojej odpowiedzi. Ale również jestem wdzięczna Jakimowi, bo nie pomyślałam o wzorach skróconego mnożenia.. ale chyba go pomyliłeś. Chyba, bo nie jestem pewna.
(a+b)2= a2 +? -2ab .. blabla.
I nie miałam jeszcze delt itp.
dziękuję wam
Awatar użytkownika
JakimPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2401
Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 459 razy

Określ, ile punktów wspólnych ma prosta l z okręgiem

Post autor: JakimPL »

Faktycznie, w rozpisce dałem \(\displaystyle{ (a+b)^2}\), a powinno być \(\displaystyle{ (a-b)^2}\), jednak reszta się zgadza.
ODPOWIEDZ