Witam.
Punktom A, B, C, D przypiszmy liczbę zespoloną odpowiednio a, b, c, d. Pokazać, że punkty te leżą na jednym okręgu albo są współliniowe, gdy:
\(\displaystyle{ \frac{a-c}{b-c} : \frac{a-d}{b-d} = \frac{ \overline{a} - \overline{c} }{ \overline{b} - \overline{c}} : \frac{ \overline{a} - \overline{d}}{\overline{b} - \overline{d}}}\)
Czy tw. odwrotne również jest prawdziwe?
Z góry dziękuję.
L. zespolone, punkty na okręgu, dowieść
-
norwimaj
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
L. zespolone, punkty na okręgu, dowieść
Na początku załóżmy, że mamy do czynienia z czterema różnymi punktami. Bowiem jeśli któreś dwa punkty są sobie równe, to oczywiście wszystkie punkty leżą na jednym okręgu lub na prostej, ale w podanym warunku możemy dostać \(\displaystyle{ 0}\) w mianowniku.
Ten warunek wygląda na bardziej skomplikowany, niż jest naprawdę. Mówi on dokładnie, że lewa strona jest rzeczywista. Argument liczby \(\displaystyle{ \frac{a-c}{b-c}}\) jest to miara kąta skierowanego pomiędzy wektorami \(\displaystyle{ \overrightarrow{BC}}\) i \(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}}\). Argument \(\displaystyle{ \frac{a-d}{b-d}}\) to kąt pomiędzy \(\displaystyle{ \overrightarrow{BD}}\) i \(\displaystyle{ \overrightarrow{AD}}\).
Jeśli na przykład pierwszy z tych ilorazów wychodzi rzeczywisty, to punkty \(\displaystyle{ A,B,C}\) leżą na jednej prostej. Wtedy punkt \(\displaystyle{ D}\) też leży na tej prostej dokładnie wtedy, gdy drugi iloraz jest rzeczywisty, czyli wtedy, gdy całe wyrażenie jest rzeczywiste.
Gdy całe wyrażenie jest rzeczywiste, to wspomniane wyżej dwa kąty różnią się o \(\displaystyle{ \pi}\), albo są równe, w zależności od tego, czy wyrażenie jest ujemne, czy dodatnie. Jeśli kąty są równe, to punkty leżą na jednym okręgu (twierdzenie o kątach wpisanych w okrąg, a właściwie odwrotne doń), przy czym punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) sąsiadują ze sobą. Jeśli kąty różnią się o \(\displaystyle{ \pi}\), to punkty leżą na okręgu (tw. o czworokącie wpisanym w okrąg), tak że punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są rozdzielone przez \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\).
Ten warunek wygląda na bardziej skomplikowany, niż jest naprawdę. Mówi on dokładnie, że lewa strona jest rzeczywista. Argument liczby \(\displaystyle{ \frac{a-c}{b-c}}\) jest to miara kąta skierowanego pomiędzy wektorami \(\displaystyle{ \overrightarrow{BC}}\) i \(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}}\). Argument \(\displaystyle{ \frac{a-d}{b-d}}\) to kąt pomiędzy \(\displaystyle{ \overrightarrow{BD}}\) i \(\displaystyle{ \overrightarrow{AD}}\).
Jeśli na przykład pierwszy z tych ilorazów wychodzi rzeczywisty, to punkty \(\displaystyle{ A,B,C}\) leżą na jednej prostej. Wtedy punkt \(\displaystyle{ D}\) też leży na tej prostej dokładnie wtedy, gdy drugi iloraz jest rzeczywisty, czyli wtedy, gdy całe wyrażenie jest rzeczywiste.
Gdy całe wyrażenie jest rzeczywiste, to wspomniane wyżej dwa kąty różnią się o \(\displaystyle{ \pi}\), albo są równe, w zależności od tego, czy wyrażenie jest ujemne, czy dodatnie. Jeśli kąty są równe, to punkty leżą na jednym okręgu (twierdzenie o kątach wpisanych w okrąg, a właściwie odwrotne doń), przy czym punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) sąsiadują ze sobą. Jeśli kąty różnią się o \(\displaystyle{ \pi}\), to punkty leżą na okręgu (tw. o czworokącie wpisanym w okrąg), tak że punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są rozdzielone przez \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\).