Punkty styczności

[Piczet]

Prosta \(\displaystyle{ y=-2x-1}\) jest styczna do okręgu \(\displaystyle{ (x-3) ^{2} +(y+2) ^{2} = 5}\).
Wyznacz współrzędne punktu styczności
\(\displaystyle{ x ^{2} -6x+9+y ^{2} +4y+4 = 5}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} -6x+9+(-2x-1) ^{2} + 4(-2x-1)+4=5}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} -6x+9+4x ^{2} +4x+1-8x-4+4=5}\)
\(\displaystyle{ 5x ^{2}-10x+5=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 0}\)
\(\displaystyle{ x=1}\)

\(\displaystyle{ y=(-2) \cdot 1-1}\)
\(\displaystyle{ y=-3}\)

Współrzędne tego punktu to\(\displaystyle{ (1,-3)}\)

[lukasz1804]

Rozwiązanie poprawne.

Porada na przyszłość: równanie prostej można wstawić bezpośrednio do równania okręgu w postaci jawnej, otrzymując równanie \(\displaystyle{ (x-3)^2+(-2x-1+2)^2=5}\), tj. \(\displaystyle{ (x-3)^2+(2x-1)^2=5}\). Rozwiązanie będzie o jeden krok krótsze.