Obliczyć odległość między prostymi - nie wychodzi

[IloveAlgebra]

Tak jak w temacie. Proszę o wyszukanie błędu. Mam dwie proste zadane równaniami krawędziowymi:
\(\displaystyle{ l_1}\):\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+1=0\\x-z+1=0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ l_2}\):\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y-z=0\\z+y+1=0\end{cases}}\)

Postanowiłem zamienić równania krawędziowe na równania parametryczne.
Zapiszę to w formie tłumaczenia samemu sobie, łatwiej będzie wtedy Wam wyłapać błąd:

Podane równania mówią nam że np \(\displaystyle{ l_1}\) jest krawędzią przecięcia się płaszczyzn \(\displaystyle{ \Pi_1}\):\(\displaystyle{ x+y+1=0}\) i \(\displaystyle{ \Pi_2}\):\(\displaystyle{ x-z+1=0}\). Aby napisać równanie parametryczne \(\displaystyle{ l_1}\) musimy znaleźć punkt \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\) który przechodzi przez tę prostą i znaleźć wektor do niej równoległy. Punkt \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\) jest dowolnym rozwiązaniem układu dla \(\displaystyle{ z_0=0}\). Rozwiązujemy więc układzik dla prostej\(\displaystyle{ l_1}\), wychodzi \(\displaystyle{ l_1}\):\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-1\\y=0\\z=0\end{cases}}\), czyli \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)=(-1,0,0)}\). Wyznaczamy (odczytujemy) teraz wektor prostopadły do \(\displaystyle{ \Pi_1}\) prostej \(\displaystyle{ l_1}\). Dla \(\displaystyle{ x+y+1=0}\) będzie wynosił \(\displaystyle{ u=[1,1,0]}\) , dla \(\displaystyle{ \Pi_2}\) prostej \(\displaystyle{ l_1}\) wynosi \(\displaystyle{ v=[1,0,-1]}\) . Zatem wektor \(\displaystyle{ u \times v = [u_1*v_3-u_3*v_2, u_3*v_1-u_1*v_3, u_1*v_2-u_2*v_1]}\) czyli \(\displaystyle{ u \times v = [-1,1,-1]}\) jest równoległy do krawędzi przecięcia się płaszczyzn, czyli równanie parametryczne prostej ma postać: \(\displaystyle{ l_1}\):\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-1-t\\y=t\\z=-t\end{cases}}\). Tak samo wyznaczamy równanie dla prostej \(\displaystyle{ l_2}\), wyszło mi \(\displaystyle{ l_2}\):\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1+2t\\y=-1-t\\z=t\end{cases}}\).

Teraz obliczymy odległość \(\displaystyle{ l_1}\) od \(\displaystyle{ l_2}\).

Odczytujemy wektory kierunkowe prostych, wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ u_1=[-1,1,-1]}\) oraz \(\displaystyle{ u_2=[2,-1,1]}\). Odczytujemy dowolny punkt przez który przechodzą proste: są to odpowiednio \(\displaystyle{ P_1=(-1,0,0)}\) \(\displaystyle{ P2=(1,-1,0)}\). Obliczamy wektor jaki tworzą te punkty. Wynosi on \(\displaystyle{ [2,-1,0]}\). Obliczymy teraz wyznacznik macierzy stworzonej z: w pierwszym wierszu obliczony przed chwilą wektor, a na drugim i 3 wierszu wektory kierunkowe. Gdy wyznacznik wyjdzie równy 0 oznacza to że proste leżą na jednej płaszczyźnie. Teraz sprawdzamy równoległość dzieląc kolejne współrzędne wektorów kierunkowych przez siebie i gdy ich ilorazy będą różne od 0 i dadzą liczbę rzeczywistą to są równoległe (po obliczeniach wychodzi że nie są równoległe)). Niestety tutaj wyznacznik takiej macierzy wyniósł mi -1 więc proste są "zwichrowane" (cokolwiek to znaczy).

Znajdziemy zatem płaszczyznę równoległą do obu prostych i zawierającą prostą \(\displaystyle{ l_2}\). Jej wektor normalny możemy obliczyć jako iloczyn wektorowy wektorów kierunkowych obu prostych. Wychodzi \(\displaystyle{ u_1 \times u_2 = [0,-1,-1]}\). Do szukanej płaszczyzny należy \(\displaystyle{ P_2}\), w związku z czym możemy zapisać równanie szukanej płaszczyzny jako: \(\displaystyle{ 0*(x+1)-1*(y+1)-z=0}\). Wychodzi, że \(\displaystyle{ -y-1-z=0}\).

Teraz obliczamy po prostu odległość punktu \(\displaystyle{ P_1}\) od policzonej płaszczyzny:
Niespodzianka, wychodzi mi \(\displaystyle{ d(l_1, l_2) =\frac{\sqrt{2}}{2}}\), a w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ d(l_1, l_2)= \sqrt{2}}\).
Gdzie powstał błąd? Czy moja wiedza nabyta w zakresie geometrii analitycznej jest trefna?

[Crizz]

Prawdę mówiąc, to pewnie w drukarni .

A tak poważnie to przejrzałem w miarę dokładnie Twoje obliczenia i nie znalazłem błędu. Sprawdziłem w programie matematycznym te wszystkie iloczyny wektorowe. Wszystko wygląda OK. Błędu w badaniu wzajemnego położenia prostych nie ma prawa być, bo dało się policzyć odległość \(\displaystyle{ P_1}\) od szukanej płąszczyzny (nie wyszła zerowa). Naprawdę jak dla mnie to najbardziej prawdopodobny jest błąd w książce (jeśli jest jakiś błąd, to naprawdę złośliwy )

[IloveAlgebra]

Dzięki Ci o Panie!

[kristoffwp]

Ja podszedłem do tematu nieco inaczej.

Wziąłem punkt A prostej \(\displaystyle{ l _{1}}\). Ma on współrzędne
\(\displaystyle{ A = (-1-t _{A}, t _{A}, -t _{A})}\) i punkt B prostej \(\displaystyle{ l _{2}}\) analogicznie wyrażając jego współrzędne. Następnie obliczyłem odległość między tymi punktami. Otrzymałem funkcję dwóch zmiennych \(\displaystyle{ t _{A} i t _{B}}\). Zbadałem ją i otrzymałem ekstremum równe \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1}{2} }}\). Chyba dobrze to policzyłeś kolego.

[IloveAlgebra]

Dzięki że sprawdziłeś, nie ma nic gorszego niż błędy w odpowiedziach... (no chyba że brak odpowiedzi )