przekształcenia z wektorami

[lilousmile]

Przeszktałcenie P przyporządkowuje kazdemu pkt A plaszczyzny pkt A' taki ze \(\displaystyle{ \vec{OA}+\vec{OA'}=[2;3]}\) gdzie \(\displaystyle{ O(0;0 )}\)
a) sprawdz czy przekształcenie P jest izometrią
b)znajdz obraz odcinka AB o koncach \(\displaystyle{ A (1;5), B(-2;3)}\)
bardzo prosze o pomoc

-- 6 mar 2011, o 19:58 --

bardzo prosze

[Crizz]

Zacznij od wyznaczenia wzoru tego przekształcenia - podstaw \(\displaystyle{ A=(x,y), A^\prime=(x^\prime,y^\prime)}\) i oblicz zależność \(\displaystyle{ x^\prime,y^\prime}\) od \(\displaystyle{ x,y}\).

[lilousmile]

dobrze mam takie przekształcenie
\(\displaystyle{ \vec{XA}=-\vec{XA'}+2}\)
\(\displaystyle{ \vec{YA}=-\vec{YA'}+3}\)
chyba zle zrobiłem bo to sa pkt a nie wektory prosze o pomoc pierwszy raz robie takie zadania
i co dalej ...

[Crizz]

No dobra, ale co mają oznaczać te wektory? Chodziło chyba o:
\(\displaystyle{ x^\prime=-x+2\\
y^\prime=-y+3}\)

Przekształcenie jest izometrią, kiedy zachowuje długości odcinków. Niech \(\displaystyle{ A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)}\) będą dowolnymi dwoma punktami płaszczyzny. Pokaż, że \(\displaystyle{ |AB|=|A^\prime B^\prime|}\) (wyznacz \(\displaystyle{ A^\prime,B^\prime}\), oblicz długości tych dwóch odcinków i sprawdź, że są równe).

[lilousmile]

ok czyli przekształcenie \(\displaystyle{ P(x;y)=(-x+2;-y+3)}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{ (x_{a}- x_{b})^{2} + (y_{a}- y_{b}) ^{2} } = \sqrt{((-x_{a}+2)-(- x_{b}+2))^{2} + ((-y_{a}+3)-(- y_{b}+3)) ^{2} }}\)
po uproszczeniu
\(\displaystyle{ \sqrt{ (x_{a}- x_{b})^{2} + (y_{a}- y_{b}) ^{2} } = \sqrt{ (-x_{a}+ x_{b})^{2} + (-y_{a}+ y_{b}) ^{2} }}\)
ok jest to izometria dzieki za pomoc

[Crizz]

Zauważyć, że \(\displaystyle{ p^2=(-p)^2}\) (jeśli tego nie widzisz, to rozwiń wyrażenia pod pierwiastkami, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia).

Następnym razem radzę pisać \(\displaystyle{ L=...=...=...=P}\).