Równanie płaszczyzny, proste ||

[Custom]

Mam zadanie, w którym trzeba wyznaczyć rónanie płaszczyzny przechodzącej przez dwie proste równoległe. Znalazłem gdzieś przypadkowo podobne zadanie i na jego rozwiązaniu się wzorowałem. Chciałbym, aby ktoś zerknął, cczy jest to dobrze zrobione, gdyż wynik wydaje mi się podejżany.

\(\displaystyle{ l_{1} : \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{3}
l_{2} : \frac{x-2}{2} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-2}{3}}\)

Wyznaczyłem sobie punkty, przez które przechodzą proste
Dla \(\displaystyle{ l_{1}}\) są to \(\displaystyle{ A=(1,2,a) B=(b,2,3)}\)
Dla \(\displaystyle{ l_{2}}\) są to \(\displaystyle{ C=(2,1,c) D=(d,1,2)}\)

Następnie wyznaczyłem wektory
\(\displaystyle{ \vec{AB} = [b-1,0,3-a]
\vec{AC} = [d-2,0,2-c]}\)

\(\displaystyle{ \vec{AB} \parallel \vec{CD} \Longleftrightarrow \frac{b-1}{d-2} = \frac{3-a}{2-c}}\)
W takim razie niech \(\displaystyle{ b=2, a=2, d=3, c=1}\)

\(\displaystyle{ \vec{AB} = [1,0,1]
\vec{AC} = [1,-1,-1]}\)

\(\displaystyle{ \vec{AB} \times \vec{AC} = [1,0,-1]}\)

Podstawiając do wzoru \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0
x-z+D=0}\)
skoro pkt \(\displaystyle{ A=(1,2,2)}\) to \(\displaystyle{ D=1}\)
Więc równanie płaszczyzny wyszło mi \(\displaystyle{ x-z+1=0}\)

Mógłby ktoś to zweryfikować? I w razie wentualnych błędów poprawić?

[Qń]

Wyznaczyłem sobie punkty, przez które przechodzą proste
Dla \(\displaystyle{ l_{1}}\) są to \(\displaystyle{ A=(1,2,a) B=(b,2,3)}\)
Dla \(\displaystyle{ l_{2}}\) są to \(\displaystyle{ C=(2,1,c) D=(d,1,2)}\)

Skąd to się wzięło?
Jeśli próbujesz znaleźć po dwa punkty z każdej prostej, to po pierwsze robisz to zupełnie źle, a po drugie robisz to zupełnie niepotrzebnie.

Q.

[Custom]

W takim razie jaki jest "przepis" na szybkie wyliczenie równiania takiej płaszczyzny?

[Qń]

Od końca - płaszczyzna o wektorze normalnym \(\displaystyle{ [A,B,C]}\) i przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ P=(x_0,y_0,z_0)}\) ma równanie:
\(\displaystyle{ A\cdot (x-x_0) + B\cdot (y-y_0)+C \cdot (z-z_0)=0}\)
Wystarczy zatem jeśli znajdziemy jakiś punkt naszej płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) i jej wektor normalny.

Punkt tej płaszczyzny mamy za darmo, bowiem każdy punkt z obu prostych musi należeć do \(\displaystyle{ \pi}\). Niech więc \(\displaystyle{ P=(1,2,3)}\). Pozostaje więc znaleźć wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\), czyli wektor do niej prostopadły.

W tym celu znajdźmy dwa nierównoległe wektory "siedzące" w \(\displaystyle{ \pi}\). Jednym z nich może być na przykład wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l_1}\), czyli \(\displaystyle{ [2,-1,3]}\), drugim zaś wektor łączący \(\displaystyle{ (1,2,3)\in l_1}\) z \(\displaystyle{ (2,1,2)\in l_2}\), czyli \(\displaystyle{ [2-1,1-2,2-3]=[1,-1,-1]}\). Możemy zatem powiedzieć, że płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi}\) jest rozpięta przez wektory \(\displaystyle{ [2,-1,3]}\) i \(\displaystyle{ [1,-1,-1]}\). Wektor normalny tej płaszczyzny będzie więc prostopadły do obu tych wektorów.

Oczywiście wektorem prostopadłym do dwóch nierównoległych wektorów jest ich iloczyn wektorowy, tak więc:
\(\displaystyle{ [A,B,C] = [2,-1,3]\times [1,-1,-1]}\)
I dalej tylko policzyć i wstawić do wzoru.

Q.

[Custom]

Ok, dzięki. Mam pare pytań. Czy pkt P (rozumiem, że wziąłeś go z prostej \(\displaystyle{ l_{1}}\)) mógłby być wzięty również z prostej \(\displaystyle{ l_{2}}\) ? Jeśli tak, to czy w późniejszych obliczeniach coś by się zmieniło? Byłyby brane pod uwage inne pkty itp?
Jak już wyliczę iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ [A,B,C]}\) to podstawiam go do wzrou razem z pkt. P i wyliczam, tak?

[Qń]

Czy pkt P (rozumiem, że wziąłeś go z prostej \(\displaystyle{ l_{1}}\)) mógłby być wzięty również z prostej \(\displaystyle{ l_{2}}\) ?

Tak.

Jeśli tak, to czy w późniejszych obliczeniach coś by się zmieniło?

Nie.

Jak już wyliczę iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ [A,B,C]}\) to podstawiam go do wzrou razem z pkt. P i wyliczam, tak?

Tak.

Q.