Równanie płaszczyzny przechodzącej przez 2 proste

[Tomecki21]

Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez 2 proste:

\(\displaystyle{ L_1:\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{-2}\\
L_2:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-2}}\)

Nie mam pojęcia jak to zrobić, więc prosiłbym o dość jasne wytłumaczenie, krok po kroku

[Crizz]

Odczytujesz z mianowników wektory kierunkowe obu prostych: \(\displaystyle{ \vec{u_1}=[1,-1,2],\vec{u_2}=[1,-1,2]}\). Okazuje sie, że są one równe, więc podane proste są równoległe.

Znajdujesz zatem dowolne dwa punkty \(\displaystyle{ A\in L_1,B\in L_2}\). Liczysz wektor normalny do szukanej płaszczyzny jako \(\displaystyle{ \vec{u_1} \times \vec{AB}}\) (zauważ, ze są to dwa wektory równoległe do szukanej płaszczyzny, więc ich iloczyn wektorowy będzie prostopadły do tej płaszczyzny). Jak będziesz na tym etapie, to podpowiem, co dalej.

(a jak najszybciej wyznaczyć \(\displaystyle{ A,B}\)? Pomyśl, jakie \(\displaystyle{ x,y,z}\) trzeba wstawić do równania prostej, zeby otrzymać \(\displaystyle{ 0=0=0}\))

[Tomecki21]

policzyłem ten wektor i wyszło mi [1,-9,3]

[Crizz]

Hmmm... moim zdaniem powinno wyjśc \(\displaystyle{ [1,-9,-5]}\). Sprawdź jeszcze obliczenia.

Jak już sprawdzisz, to skorzystaj z faktu, że równanie płaszczyzny o wektorze normalnym \(\displaystyle{ [A,B,C]}\) ma postać \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\). Współczynnik \(\displaystyle{ D}\) obliczysz, podstawiajac do równania np. punkt \(\displaystyle{ A}\).

[Tomecki21]

ok dzięki wielkie