Witajcie mam takie zadanko a hego tresc brzmi : Wykaz posługując sie wzorami na symetrie srodkowa ze jest ona izometrią. Prosze o pomoc bo cos mi to nie wychodzi ... drugi sposób to z przystawania tro. to wiem
pzdr i thx z góry
Udow. posługując sie wzorami na sym.srodkowa że jest izometr
-
szw1710
Udow. posługując sie wzorami na sym.srodkowa że jest izometr
Punkt \(\displaystyle{ A'(x',y')}\) jest obrazem \(\displaystyle{ A(x,y)}\) w symetrii względem punktu \(\displaystyle{ O(a,b)}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \vec{OA'}=\vec{AO}}\).
Wobec tego
\(\displaystyle{ x'-a=a-x,\quad y'-b=b-y}\)
i mamy wzory na symetrię:
\(\displaystyle{ x'=2a-x,\quad y'=2b-y}\).
teraz bierzemy dwa punkty: \(\displaystyle{ A(x_A,y_A)}\) i podobnie B. Mamy sprawdzić, że \(\displaystyle{ A'B'=AB}\).
Ale \(\displaystyle{ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}\)
Z kolei
\(\displaystyle{ A'B'=\sqrt{(x_{B'}-x_{A'})^2+(y_{B'}-y_{A'})^2}}\)
Jednak \(\displaystyle{ x_{B'}-x_{A'}=(2a-x_B)-(2a-x_A)=x_A-x_B}\), podobnie
\(\displaystyle{ y_{B'}-y_{A'}=y_A-y_B}\), zatem
\(\displaystyle{ A'B'=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=AB}\),
co należało wykazać.
Wobec tego
\(\displaystyle{ x'-a=a-x,\quad y'-b=b-y}\)
i mamy wzory na symetrię:
\(\displaystyle{ x'=2a-x,\quad y'=2b-y}\).
teraz bierzemy dwa punkty: \(\displaystyle{ A(x_A,y_A)}\) i podobnie B. Mamy sprawdzić, że \(\displaystyle{ A'B'=AB}\).
Ale \(\displaystyle{ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}\)
Z kolei
\(\displaystyle{ A'B'=\sqrt{(x_{B'}-x_{A'})^2+(y_{B'}-y_{A'})^2}}\)
Jednak \(\displaystyle{ x_{B'}-x_{A'}=(2a-x_B)-(2a-x_A)=x_A-x_B}\), podobnie
\(\displaystyle{ y_{B'}-y_{A'}=y_A-y_B}\), zatem
\(\displaystyle{ A'B'=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=AB}\),
co należało wykazać.