Znaleźć odległość między prostymi

[celebes]

Znaleźć odległość między prostymi l1 i l2

\(\displaystyle{ l_1: \begin{cases} x = 3 - t \\ y = 2 - t \\ z = 1 + 2t \end{cases} \\
l_2: \begin{cases} 2x - 2y - 3z = 0 \\ x - 2y + 4z + 2 = 0 \end{cases}}\)

Ok, wyznaczam sobie wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l_1}\), czyli:
\(\displaystyle{ \vec{u} = [-1, -1, 2]}\)
Następnie obliczam iloczyn wektorowy wektorów \(\displaystyle{ \vec{a} = [2, -2, -3]}\) i \(\displaystyle{ \vec{b} = [1, -2, 4]}\) dla drugiej prostej:
\(\displaystyle{ \vec{a} \times \vec{b} = [-14, -11, -2]}\)
Obliczam układ równań dla l2 i mam:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = t \\ y = \frac{11}{14}t + \frac{6}{14} \\ z = \frac{1}{7}t - \frac{2}{7} \end{cases}}\)
Wyznaczam sobie jakis punkt, np. dla \(\displaystyle{ t=0}\)
\(\displaystyle{ P = \left( 0, \frac{6}{14} , - \frac{2}{7} \right)}\)
Zapisuje prosta w postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = -14t \\ y = \frac{6}{14} - 11t \\ z = - \frac{2}{7} - 2t \end{cases}}\)

Do tej pory mniej wiecej wiedzialem co robie, ale dalej juz nie mam pojecia:
Licze wektor miedzy punktem na jednej prostej, a punktem na drugiej:
\(\displaystyle{ P_1 = \left( 3,2,1 \right) \\
P_2 = \left( 0, \frac{6}{14} , - \frac{2}{7} \right) \\
\vec{P_1P_2} = \left[ -3, - \frac{22}{14} , - \frac{9}{7} \right]}\)
Teraz mnoze wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l_1}\) z wektorem \(\displaystyle{ P_1P_2}\), podstawiam do wzoru i wychodzi mi totalnie zle.

Prosze o wskazanie bledu w toku mojego myslenia i skorygowanie go.

Pozdrawiam.

[janusz47]

Znajdujesz wektor kierunkowy płaszczyzny prostopadłej do prostych \(\displaystyle{ l_{1}, l_{2}}\) jako iloczyn wektorowy wektorów kierunkowych tych prostych.
Piszesz równanie tej płaszczyzny przechodzącej np. przez punkt P.
Znajdujesz współrzędne punktów 'przebicia' płaszczyzny prostymi.
Obliczasz odległość tych punktów.

[celebes]

Znajdujesz wektor kierunkowy płaszczyzny prostopadłej do prostych \(\displaystyle{ l_{1}, l_{2}}\) jako iloczyn wektorowy wektorów kierunkowych tych prostych.

No to juz mam

Piszesz równanie tej płaszczyzny przechodzącej np. przez punkt P.

Czyli w rownaniu ogolnym plaszczyzny, czyli \(\displaystyle{ Ax + By + Cz + D = 0}\) podstawiam wektor kierunkowy i wspolrzedne punktu?
Wyszlo mi: \(\displaystyle{ -14x -11y -2z + \frac{58}{14}}\)

Znajdujesz współrzędne punktów 'przebicia' płaszczyzny prostymi.

w jaki sposob?

Obliczasz odległość tych punktów.

w jaki sposob?

[Crizz]

Nie sprawdzałem obliczeń.

W równaniu płaszczyzny brakuje oczywiście "\(\displaystyle{ =0}\)". Podstaw do równania płaszczyzny przepisy na \(\displaystyle{ x,y,z}\) z równania parametrycznego prostej, oblicz \(\displaystyle{ t}\), podstaw do równania prostej i masz szukany punkt. Analogicznie dla drugiej prostej.

Obliczasz odległość tych punktów.

w jaki sposob?