Witam,proszę o pomoc.
Liczby x i y spełniają równanie
\(\displaystyle{ (x+5)^2+(y-12)^2=196}\)
Należy wyznaczyć minimalną wartość \(\displaystyle{ x^2+y^2}\)
Moją obserwacją jest, że kwadrat odległości punktu należącego do okręgu od początku układu współrzędnych jest właśnie równy \(\displaystyle{ x^2+y^2}\)
Nie jestem pewien czy odpowiedni dział
Równanie okregu i wartość minimalna
-
- Użytkownik
- Posty: 388
- Rejestracja: 14 lis 2010, o 19:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 40 razy
Równanie okregu i wartość minimalna
Czyli masz znaleźć punkt z okręgu znajdujący się najbliżej środka.
Przez ten punkt będzie przechodził odcinek łączący środek okręgu i początek układu współrzędnych. (dlaczego?)
Wyznacz prostą w której ten odcinek się zawiera i znajdź punkt wspólny tej prostej i okręgu.
Przez ten punkt będzie przechodził odcinek łączący środek okręgu i początek układu współrzędnych. (dlaczego?)
Wyznacz prostą w której ten odcinek się zawiera i znajdź punkt wspólny tej prostej i okręgu.
-
- Użytkownik
- Posty: 1660
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 445 razy
Równanie okregu i wartość minimalna
Gdyby ktoś preferował inne podejście, to rozwiązanie jest równoważne znalezieniu maksimum wyrażenia \(\displaystyle{ 10x-24y}\) przy danym warunku. Z nierówności Cauchy'ego-Schwarza:
\(\displaystyle{ \left(10(x+5)+24(12-y)\right)^2\le\left(10^2+24^2\right)\cdot\left((x+5)^2+(12-y)^2\right)=26^2\cdot 14^2}\)
Trzeba tylko pamiętać o sprawdzeniu czy/kiedy równość może zachodzić.
\(\displaystyle{ \left(10(x+5)+24(12-y)\right)^2\le\left(10^2+24^2\right)\cdot\left((x+5)^2+(12-y)^2\right)=26^2\cdot 14^2}\)
Trzeba tylko pamiętać o sprawdzeniu czy/kiedy równość może zachodzić.