trójkąt równoramienny oraz okrąg z wpisanym kwadratem

[s0ull]

Witam serdecznie,
Prosiłbym o pomoc przy 2 zadankach:

zad.1 Odcinek AB jest podstawą trójkąta równoramiennego ABC o wierzchołkach A=(0,0), oraz B=(-3,5). Wyznacz wierzchołek C, wiedząc że środkowe poprowadzone z punktów A i B są do siebie prostopadłe.

zad.2 Dany jest okrąg \(\displaystyle{ o: x^{2} + y^{2} - 2x - 4 = 0}\). Wykaż że punkty \(\displaystyle{ A = (2,2)}\), oraz \(\displaystyle{ B=(- \frac{1}{2} , -\frac{1}{2})}\) należą do brzegu jednego z kwadratów wpisanych w ten okrąg.

[mateuszek89]

Zad.1
Zrób rysunek. Niech \(\displaystyle{ S}\) to punkt przecięcia środkowych, a \(\displaystyle{ D}\) to spodek wysokości punktu \(\displaystyle{ C}\) na podstawę \(\displaystyle{ AB}\).Oczywiście \(\displaystyle{ 2|DS|=|SC|}\)(bo środkowe przecinają się w stosunku \(\displaystyle{ 2:1}\) licząc od wierzchołka). Zauważ, że z tego, że środkowe przecinają się pod kątem prostym wynika, że trójkąt \(\displaystyle{ ASB}\) jest prostokątny. Łatwo więc obliczyć \(\displaystyle{ |SB|}\), a co za tym idzie \(\displaystyle{ |CD|}\). Dalej chyba wiadomo.
Zad. 2
Wyznacz środek okręgu(\(\displaystyle{ S}\)). Zauważ, że punkt \(\displaystyle{ A}\) leży na brzegu okręgu. Wystarczy więc dowieść, że \(\displaystyle{ \sphericalangle SAB=45}\) stopni(nie pamiętam jak są w Latexu). Myślę, że dasz już radę;) pozdrawiam!

[s0ull]

dzięki serdeczne tylko hmm.. w tym drugim mi wyszło, że \(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{1}{3}}\) chyba, że mam jakiś błąd w liczeniówce

[Crizz]

Wystarczy więc dowieść, że \(\displaystyle{ \sphericalangle SAB=45}\) stopni

Nie wystarczy. Trzeba jeszcze pokazać, że \(\displaystyle{ B}\) leży wewnątrz koła wyznaczonego przez ten okrąg (a nie na zewnątrz).

s0ull, zacznij od przekształcenia równania okręgu do postaci kanonicznej \(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\). Najpierw pokaż, że zachodzi \(\displaystyle{ (x_B-a)^2+(y_B-b)^2 \le r^2}\) (gdzie \(\displaystyle{ x_B,y_B}\) to współrzedne punktu \(\displaystyle{ B}\)). Potem oblicz cosinus kąta \(\displaystyle{ SAB}\) ze wzoru \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\vec{AS} \circ \vec{AB}}{|\vec{AS}| \cdot |\vec{AB}|}}\). Możesz też pokazać swoje obliczenia.

[mateuszek89]

Faktycznie nie pomyślałem o tym:/ dziękuję za uwagę:)

[s0ull]

hmm.. wyliczyłem proste w których zawierają się punkty A i S, oraz A i B, dostałem:
prosta z A i S: \(\displaystyle{ y = 2x - 2}\)
prosta z A i B: \(\displaystyle{ y = x}\)

i skorzystałe ze wzoru w tablicach: \(\displaystyle{ tg \alpha = \left| \frac{ a_{1}- a_{2} }{1+ a_{1}a_{2} } \right|}\)

dzieki za dodatkowe info