powinowactwo prostokątne

[black_91]

chciałbym żeby mi ktoś wytłumaczył na czym ono polega? może być na podstawie tego przykładu:

znajdź obraz punktu \(\displaystyle{ A(2,2)}\) przez powinowactwo prostokątne o skali \(\displaystyle{ k=2}\) i osi \(\displaystyle{ x=4}\)

[Crizz]

Powinowactwo prostokątne o skali \(\displaystyle{ k}\) i osi \(\displaystyle{ l}\) to przekształcenie, któe każdemu punktowi \(\displaystyle{ A}\) przyporządkowuje taki punkt \(\displaystyle{ A^\prime}\), że \(\displaystyle{ \vec{A_0A^\prime}=k \vec{A_0A}}\), gdzie \(\displaystyle{ A_0}\) jest rzutem \(\displaystyle{ A}\) na prostą \(\displaystyle{ l}\).

Najłatwiej sobie to wyobrazić tak: powinowactwo o skali \(\displaystyle{ k=-1}\) to po prostu symetria względem prostej. Powinowactwo o skali np. \(\displaystyle{ k=-2}\) to też jakby symetria, ale już obraz danego punktu będzie leżał dwa razy dalej niż sam punkt od osi (a figury będą "rozciągniete" w jednym kierunku).

Dla skali \(\displaystyle{ k=-2}\) będzie to wyglądać mniej więcej tak (elipsa po prawej to obraz okręgu o lewej)



Uploaded with

W podanym przykładzie:

Rzutem punktu \(\displaystyle{ A}\) na prostą \(\displaystyle{ x=4}\) jest punkt \(\displaystyle{ A_0(4,2)}\). W takim razie \(\displaystyle{ \vec{A_0A}=[-2,0]}\).

Niech \(\displaystyle{ A^\prime=(x^\prime,y^\prime)}\), wówczas \(\displaystyle{ \vec{A_0A^\prime}=[x^\prime-4,y^\prime-2]}\) i mamy:

\(\displaystyle{ \vec{A_0A^\prime}=2\vec{A_0A}}\)
\(\displaystyle{ [x^\prime-4,y^\prime-2]=2[-2,0]}\)
\(\displaystyle{ [x^\prime-4,y^\prime-2]=[-4,0]}\)
\(\displaystyle{ [x^\prime,y^\prime]=[-4+4,0+2]}\)

Stąd \(\displaystyle{ A^\prime=(0,2)}\).