Równoległość dwóch płaszczyzn

nygger · Post autor: **nygger** » 9 lut 2011, o 18:18

Witam, dostałem zadanie do rozwiązania a brzmi ono tak:
Napisz równanie dowolnej płaszczyzny, która przechodzi przez pkt. \(\displaystyle{ A=(-2,2,-2)}\) oraz jest równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ 2x-y+2z-2=0}\)
Znam wzór na równoległość płaszczyzn przechodzących przez 2 punkty, ale nie wiem czy on też sie odnosi dla płaszczyzny przechodzącej przez 1 punkt. Osobiście bym to rozwiązał w taki sposób ale nie wiem czy to jest dobrze.

Z punktu \(\displaystyle{ A}\) stworzyłbym równanie, i zrobił układ równości:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y+2z-2=0 \\-2x+2y-2z=0 \end{cases}}\)

jak wiadomo ogólny wzór wygląda tak:
\(\displaystyle{ ax+by+cz+d=0}\)
Także za parametr d podstawiłbym 0 \(\displaystyle{ d=o}\)
Następnie metodą dodawania stronami wyszłoby takie coś:
\(\displaystyle{ y=0}\)
Można dalej wywnioskować, że \(\displaystyle{ x=z}\)
To teraz za z podstawiłbym -1, \(\displaystyle{ z=-1}\)
Po podstawienu wychodzi:
\(\displaystyle{ 2-2=0}\)
\(\displaystyle{ x=-1 y=0 z=-1}\)
A równanie równoległej płaszczyzny wyglądałoby w takim razie tak:
\(\displaystyle{ -x-z=0}\)

Czy tak będzie dobrze?
Pozdrawiam

JankoS · Post autor: **JankoS** » 10 lut 2011, o 01:39

Szukana płaszczyzna \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) ma taki sam wektor normalny jak dana, więc \(\displaystyle{ 2x-y+2z+D=0}\). Wartość D wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu A.

nygger · Post autor: **nygger** » 10 lut 2011, o 09:52

Po podstawienu wartość \(\displaystyle{ D=-6}\)

To mam rozumieć, że równanie szukanej płaszczyzny będzie wyglądać tak?

\(\displaystyle{ 2x-y+2z-6=0}\)

JankoS · Post autor: **JankoS** » 10 lut 2011, o 13:39

\(\displaystyle{ 2(-2)-2+2(-2)-6 \neq 0.}\)

nygger · Post autor: **nygger** » 10 lut 2011, o 14:10

Hmmmm... Nie jestem pewien czy dobrze wnioskuje, ale to co napisałeś rozumiem w taki sposób, że nie istnieje taka płaszczyzna?

JankoS · Post autor: **JankoS** » 10 lut 2011, o 14:17

No nie. Trzeba dobrze rozwiązać równanie \(\displaystyle{ -4-2-4+D=0.}\)

nygger · Post autor: **nygger** » 10 lut 2011, o 14:31

czyli \(\displaystyle{ D=10}\)
dalej idąc
\(\displaystyle{ 2(-2)-2+2(-2)+10=0}\)
\(\displaystyle{ 0=0}\)
To by sie zgadzało
To ostatecznie równanie płaszczyzny wyglądałoby tak:
\(\displaystyle{ 2x-y+2z+10=0}\)

dziękuje za pomoc i pozdrawiam

JankoS · Post autor: **JankoS** » 10 lut 2011, o 14:47

Teraz wygląda na dobrze.