prosta prostopadla przechodzaca prez punkt

[Sanctuar]

Czesc

Prosze o sprawdzenie czy dobrze rozwiazuje nastepujace zadanie:
uwagi mile widzian.

Dane są równania parametryczne prostej:
a) \(\displaystyle{ x=2-3t}\) i \(\displaystyle{ y=-1+2t}\)

Napisz rownanie prostej prostopadlej i przechodzacej przez punkt A=(3,5)
Przedstaw ja w postaci: normalnej, kierunkowej, odcinkowej, parametrycznej.

1) wyliczyłem t dla podanych równan parametrycznych:

\(\displaystyle{ x=2-3t \Rightarrow t=\frac{x-2}{3}}\)
\(\displaystyle{ y=-1+2t \Rightarrow t= \frac{y+1}{2}}\)

a wiec: \(\displaystyle{ \frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{2}}\)

nastepnie policzylem to w nastepujacy sposob:

\(\displaystyle{ 2(x-2) - (-3(y+1)) \leftarrow}\) tutaj "minus" wpisuje na czuja, ale nie wiem dlaczego

\(\displaystyle{ 2x-4-(-3y-3)}\)
\(\displaystyle{ 2x+3y-1=0 \Rightarrow y= \frac{-2}{3}x+ \frac{1}{3}}\)

2) aby otrzymac prosta prostopadla do tej prostej kombinowalem z nastepujacymi zalozeniami wspolczynnikow.

prosta \(\displaystyle{ l: y=ax+b}\) oraz \(\displaystyle{ k: y=cx+d}\) sa prostopadle, jezeli wspolczynnik \(\displaystyle{ c= \frac{-1}{a}}\)

co w rezultatcie i po wykorzystaniu wspolrzednych punktu A dalo mi:

\(\displaystyle{ k: 5=-(-\frac{3}{2}) * 3 +d \Rightarrow d= \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ k: y= \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}}\)

postac:
-normalnej: \(\displaystyle{ \frac{3}{2}x-y+ \frac{1}{2} =0}\)

-kierunkowej: \(\displaystyle{ y= \frac{3}{2}x+ \frac{1}{2}}\)

-odcinkowej: \(\displaystyle{ \frac{x}{ -\frac{3}{4}} + \frac{y}{ -\frac{1}{2} } = 1}\)

-parametrycznej: - tutaj nie do konca wiem jak zamienic na parametryczna postac

[anna_]

\(\displaystyle{ x=2-3t \Rightarrow t=\frac{2-x}{3}}\)
\(\displaystyle{ y=-1+2t \Rightarrow t= \frac{y+1}{2}}\)

a wiec: \(\displaystyle{ \frac{2-x}{3} = \frac{y+1}{2}}\)

Mnożysz na krzyż
\(\displaystyle{ 2(2-x)=3(y+1)}\)
....
\(\displaystyle{ y= \frac{-2}{3}x+ \frac{1}{3}}\)

Z tą prostą prostopadłą to nie wiem o co chodzi, bo w treści zadania nic o niej nie pisze

[Sanctuar]

dzieki za odpowiedz nmn

\(\displaystyle{ x=2-3t \Rightarrow t=\frac{2-x}{3}}\)
\(\displaystyle{ y=-1+2t \Rightarrow t= \frac{y+1}{2}}\)

-to jest rownanie parametryczne

a wiec: \(\displaystyle{ \frac{2-x}{3} = \frac{y+1}{2}}\)

Mnożysz na krzyż
\(\displaystyle{ 2(2-x)=3(y+1)}\)
....
\(\displaystyle{ y= \frac{-2}{3}x+ \frac{1}{3}}\)

ale tutaj mi sie cos nie zgadza .. albo ja mam zle ..
nie zgadza mi sie Twoj wynik z moim wpisem kierunkowej

jest to rownanie prostej podanej w zadaniu... (nie prostopadlej)

Z tą prostą prostopadłą to nie wiem o co chodzi, bo w treści zadania nic o niej nie pisze

- juz poprawilem tresc zadania.

[anna_]

\(\displaystyle{ x=2-3t \Rightarrow t=\frac{x-2}{3}}\)

powinno być
\(\displaystyle{ x=2-3t \Rightarrow t=\frac{2-x}{3}}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{-2}{3}x+ \frac{1}{3}}\)

Przecież to to samo co u mnie.

2.
-odcinkowej: \(\displaystyle{ \frac{x}{ -\frac{1}{3}} + \frac{y}{ \frac{1}{2} } = 1}\)
- paramatryczna
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=at+x_{0} \\ y=bt+y_{0} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}x-y+ \frac{1}{2} =0}\)
wektor kierunkowy \(\displaystyle{ [-B,A]=[1,\frac{3}{2}]}\)
\(\displaystyle{ A=(3,5)=(x_0,y_0)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t+3 \\ y=\frac{3}{2}t+5 \end{cases}}\)