Współrzędne punktu

[Hebo]

Punkt C znajduje się na prostej \(\displaystyle{ y=x+3}\), punkty A i B mają odpowiednio współrzędne \(\displaystyle{ (2;-1)}\)\(\displaystyle{ (6;0)}\). Znaleźć współrzędne punktu C dla którego suma odległości od niego punktów A i B jest najmniejsza.

Oznaczyłem punkt C jako: \(\displaystyle{ (c;c+3)}\) potem obliczyłem \(\displaystyle{ |AC|}\)i\(\displaystyle{ |BC|}\). Doszedłem do postaci i nie wiem jak wyznaczyć najmniejszą wartość: \(\displaystyle{ \sqrt{2c^2-6c+45}+ \sqrt{2c^2+4c+20}}\)

[lukasz1804]

Odradzam Ci takie czysto analityczne podejście (choć sam takie najbardziej lubię, ale czasem trzeba przełknąć gorzką pigułkę, chcąc coś osiągnąć).

Narysuj w układzie współrzędnych daną prostą, zaznacz dane punkty. Zbadaj, czy leżą one po tej samej stronie prostej, czy tez po przeciwnych stronach.
W pierwszym przypadku obierz dowolny spośród danych punktów, wyznacz punkt do niego symetryczny względem danej prostej, a następnie wyznacz równanie prostej przechodzącej przez ten nowy punkt i drugi z podanych punktów. Punkt wspólny danej prostej z otrzymaną to szukany punkt C.
W drugim przypadku wystarczy, że poprowadzisz prostą przez dane punkty - punkt wspólny tej prostej z daną prostą jest szukanym punktem C.

Pozostawiam Ci przeprowadzenie formalnego dowodu, że powyższe wnioskowanie jest prawidłowe (wykorzystaj warunek trójkąta).

[wb]

Wyznacz współrzędne obrazu punktu (2;-1) w symetrii względem prostej y=x+3.
Napisz równanie prostej przechodzącej przez ten obraz i przez punkt (6;0).
Znajdź współrzędne punktu C jako punktu przecięcia prostych: danej y=x+3 i znalezionej w powyższy sposób.