Może umie mi ktoś pomóc.
Mam takie zadanie:
Omówić wzajemne położenie prostych. Wykazać, że proste leżą na jednej płaszczyźnie oraz znaleźć tą płaszczyznę. Proste:
k: \(\displaystyle{ \begin{cases} x=2-2t\\ y=-1+t \\ z= -3 +t\end{cases}}\)
l: \(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y=-3 + t \\ z=-1-2t \end{cases}}\)
Rozumiem, że najpierw muszę zbadać czy proste się przecinają(nie wiem jak), potem czy są prostopadłe (wiem jak). Nie wiem też jak zbadać czy proste leżą na jednej płaszczyźnie.
Omówić wzajemne położenie prostych.
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Omówić wzajemne położenie prostych.
Najpierw sprawdzamy, czy proste się przecinają, czyli przyrównujemy odpowiednie współrzędne i rozwiązujemy odpowiedni układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2-2t=s\\ -1+t=-3+s \\ -3 +t=-1-2s \end{cases}}\)
(oznaczenie parametru w równaniu drugiej prostej zmieniłem na \(\displaystyle{ s}\), żeby nie pomylił się z parametrem z równania pierwszej).
Jeśli ten układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, to proste przecinają się. Otrzymujemy dodatkowo wartości \(\displaystyle{ s,t}\), które trzeba podstawić do odpowiednich równań prostych, zeby otrzymać ich punkt przecięcia.
Znamy wektory kierunkowe obu prostych: \(\displaystyle{ [-2,1,1]}\) oraz \(\displaystyle{ [1,1,-2]}\). Liczymy ich iloczyn wektorowy i otrzymujemy wektor normalny szukanej płaszczyzny. Znamy także punkt wspólny obu prostych, więc nie ma już problemu z wyznaczeniem równania szukanej płaszczyzny.
Gdyby okazało się, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, to proste pokrywają się.
Gdyby okazało się, że układ nie ma rozwiązania, to:
jeśli wektory kierunkowe są równoległe, to proste są równoległe
jesli wektory kierunkowe nie są równoległe, to proste są zwichrowane.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2-2t=s\\ -1+t=-3+s \\ -3 +t=-1-2s \end{cases}}\)
(oznaczenie parametru w równaniu drugiej prostej zmieniłem na \(\displaystyle{ s}\), żeby nie pomylił się z parametrem z równania pierwszej).
Jeśli ten układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, to proste przecinają się. Otrzymujemy dodatkowo wartości \(\displaystyle{ s,t}\), które trzeba podstawić do odpowiednich równań prostych, zeby otrzymać ich punkt przecięcia.
Znamy wektory kierunkowe obu prostych: \(\displaystyle{ [-2,1,1]}\) oraz \(\displaystyle{ [1,1,-2]}\). Liczymy ich iloczyn wektorowy i otrzymujemy wektor normalny szukanej płaszczyzny. Znamy także punkt wspólny obu prostych, więc nie ma już problemu z wyznaczeniem równania szukanej płaszczyzny.
Gdyby okazało się, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, to proste pokrywają się.
Gdyby okazało się, że układ nie ma rozwiązania, to:
jeśli wektory kierunkowe są równoległe, to proste są równoległe
jesli wektory kierunkowe nie są równoległe, to proste są zwichrowane.