Punkt symetryczny w przestrzeni

[wojcio1991]

Witam
Mam w piatek porawke i takie cos moze sie pojawic i ktos mógłby mi wyjąsnic jak zrobic takie zadanka?
1 jak znaleźć punkt symetryczny do punktu \(\displaystyle{ A=(1,2,3)}\) względem prostej \(\displaystyle{ \frac{x-6}{2} = \frac{y-9}{3} = \frac{z-2}{5}}\)
2 jak znaleźć punkt symetryczny do punktu \(\displaystyle{ A=(1,2,3)}\) względem płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi : \ 2x+5y+3z+5=0}\)
3 Jak przeksztalcic równanie krawędziowe prostej postaci
\(\displaystyle{ \begin{cases} 6x + 2y - z - 9 = 0\\3x + 2y + 2z - 12 = 0\end{cases}}\)
Na postac parametryczna?
Z góry dzieki

[Crizz]

W zadaniach 1. i 2. mozemy wyznaczyć \(\displaystyle{ \vec{A_0A}}\), gdzie \(\displaystyle{ A_0}\) jest rzutem \(\displaystyle{ A}\) odpowiednio na daną prostą lub płaszczyznę.

W zadaniu 1. przepisz równanie podanej prostej na postać parametryczną. Skorzystaj następnie z tego, że:
\(\displaystyle{ A_0}\) należy do podanej prostej
\(\displaystyle{ \vec{A_0A}}\) jest prostopadły do podanej prostej, a zatem także do jej wektora kierunkowego (skorzystaj z iloczynu skalarnego)

W zadaniu 2. skorzystaj z tego, że:
\(\displaystyle{ \vec{A_0A}}\) jest równoległy do wektora normalnego podanej płaszczyzny (czyli \(\displaystyle{ [2,5,3]}\))
\(\displaystyle{ A_0}\) należy do podanej prostej (LUB: długość szukanego wektora równa jest odległości \(\displaystyle{ A}\) od podanej płaszczyzny)

W zadaniu 3.: odczytaj wektory normalne podanych płaszczyzn, ich iloczyn wektorowy jest wektorem kierunkowym prostej. Wyznacz dowolne rozwiązanie układu równań żeby wyznaczyć przykładowy punkt należący do prostej.

Jeśli coś jest niejasne, to pytaj.

[wojcio1991]

Więc ma być tak?
Zad 1
Potrafie tylko dojsc do tego dalej nie mam poejscia jak z tym skalarnym zrobic, jak ktos napirze rozwiazanie bede wdzieczny
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1+2t\\y=2+3t\\z=3+5t \end{cases}}\)

Zad 2
rzut punktu na plaszczyzne nazwe S a punkt symetryczny A'
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x+5y+3z+5=0\\x=1+2t\\y=2+5t \\z=3+3t \end{array}}\)

\(\displaystyle{ 38t=26 t= \frac{26}{38}}\)

\(\displaystyle{ S= \left( \frac{90}{38} , \frac{160}{38} , \frac{116}{38} \right)}\)

teraz od punktu S odejmuje punkt A i otrzymuje wektor nazwe go v, potem ze wzoru na dlugosc wektora obliczam jego dlugosc wektora v?

Na koncu rozwiazuje uklad takiej postaci
\(\displaystyle{ x- \frac{90}{38} =}\)-(dlugosc wektora v)

\(\displaystyle{ y- \frac{160}{38} =}\)-(dlugosc wektora v)

\(\displaystyle{ z- \frac{116}{38} =}\)-(dlugosc wektora v)

Zad 3


\(\displaystyle{ (6,2,-1)\times (3,2,2) = \begin{bmatrix} i&j&k\\6&2&-1\\3&2&2\end{bmatrix}}\)

Otrzymujemy jakis wektor nie chce mi sie liczyc
i teraz rozwiazujemy uklad rownan tak np.
gore mnozymy razy 2 potem dodajemy stronami i z nam sie redukuje i potem juz podstawiamy?

[Crizz]

To po kolei:

W pierwszym nie przekształciłeś poprawnie równania prostej na postać parametryczną (punkt \(\displaystyle{ (1,2,3)}\) nie należy do wyjściowej prostej). Jak już poprawisz równanie, to oblicz współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{A_0A}}\) jako różnicę współrzędnych punktów \(\displaystyle{ A_0,A}\). Punkt A znasz, a za współrzędne punktu \(\displaystyle{ A_0}\) podstaw na razie przepisy na \(\displaystyle{ x,y,z}\) z równania prostej (bo ten punkt należy przecież do prostej). Zbadaj, dla jakiego \(\displaystyle{ t}\) iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \vec{A_0A}}\) i \(\displaystyle{ [2,3,5]}\) jest równy zeru.

Drugie zacząłeś OK (nie sprawdzam dokładnie obliczeń). Jeśli od współrzednych S odejmiesz współrzędne A, to otrzymasz wektor \(\displaystyle{ \vec{AS}}\). Teraz wystarczy przesunąć punkt S o \(\displaystyle{ \vec{AS}}\) (do współrzędnych punktu S dodać współrzędne wektora). Długość wektora nie będzie potrzebna.

W trzecim możesz rozwiązywać dowolną metodą, masz znaleźć dowolne \(\displaystyle{ (x,y,z)}\), które spełniają układ równań. Możesz obstawiać np. że istnieje takie rozwiązanie tego układu, w którym \(\displaystyle{ x=1}\) (lub \(\displaystyle{ x=0}\)). Podstawiasz \(\displaystyle{ x=1}\) (lub \(\displaystyle{ x=0}\)) i otrzymujesz prosty układ, już tylko z dwiema niewiadomymi.

[wojcio1991]

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=-6+2t\\y=-9+3t\\z=-2+5t \end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=-6+2t-1\\y=-9+3t-2\\z=-2+5t-3 \end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=-7+2t\\y=-11+3t\\z=-5+5t \end{array}}\)

I dalej znowu nie wiem

[Crizz]

Teraz już prawie dobrze, ale:

zamiast \(\displaystyle{ -6,-9,-2}\) powinno być \(\displaystyle{ 6,9,2}\). Mamy przecież równanie \(\displaystyle{ \frac{x-6}{2} = \frac{y-9}{3} = \frac{z-2}{5}}\). Jak podstawimy do niego \(\displaystyle{ x=6,y=9,z=2}\), to otrzymamy \(\displaystyle{ 0=0=0}\), co potwierdza, że taki punkt należy do tej prostej. Natomiast w równaniu parametrycznym chodzi o to, żebyśmy dostali potwierdzenie, podstawiając \(\displaystyle{ t=0}\), czyli żeby dla \(\displaystyle{ t=0}\) było
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2 \cdot 0+6 \\ y=3 \cdot 0+9 \\ z=5 \cdot 0+2 \end{cases}}\)

Ogólnie dobrze jest po prostu zapamiętać, że:
\(\displaystyle{ \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c} \Leftrightarrow \begin{cases} x=at+x_0 \\ y=bt+y_0 \\ z=ct+z_0 \end{cases}}\)

OK, czyli poprawnie powinno być:
Równanie prostej
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=6+2t \\ y=9+3t \\ z=2+5t\end{cases} \quad ...(1)}\)
Współrzędne szukanego wektora:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=6+2t-1 \\ y=9+3t-2 \\ z=2+5t-3\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=5+2t \\ y=7+3t \\ z=-1+5t\end{cases} \quad ...(2)}\)

Teraz liczymy iloczyn skalarny wektora kierunkowego prostej \(\displaystyle{ [2,3,5]}\) i powyższego wektora i porównujemy z zerem, czyli:

\(\displaystyle{ [2,3,5] \circ [5+2t,7+3t,-1+5t]=0\\
2(5+2t)+3(7+3t)+5(-1+5t)=0\\
...}\)

Otrzymane \(\displaystyle{ t}\) wstawiasz do \(\displaystyle{ (1)}\) i dostajesz współrzędne punktu \(\displaystyle{ A_0}\) oraz do \(\displaystyle{ (2)}\) i dostajesz współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{AA_0}}\) (bo od współrzednych \(\displaystyle{ A_0}\) odjąłeś wspołrzędne \(\displaystyle{ A}\), a nie odwrotnie). Na koniec wystarczy juz tylko punkt \(\displaystyle{ A_0}\) przesunąć o \(\displaystyle{ \vec{AA_0}}\).

[wojcio1991]

Wielkie dzieki