kierunek gradientu funkcji

[hubertwojtowicz]

Witam.
"Wektor grad \(\displaystyle{ f(P)}\) w danym punkcie \(\displaystyle{ P(x,y,z)}\) określa kierunek i szybkość największego wzrostu funkcji \(\displaystyle{ f(x,y,z)}\) w tym punkcie."
No i miałem na wykładzie, że wektor ten jest prostopadły do poziomicy.
Przez poziomicę rozumie część wspólną powierzchni \(\displaystyle{ f(x,y,z)=0}\) i płaszczyzny poziomej(równoległej do płaszczyzny \(\displaystyle{ Oxy}\)).
Nic więcej nie było podane.
Mam pytanie jaki dokładnie jest zwrot tego wektora. Czy to jest wektor normalny do płaszczyzny stycznej w punkcie \(\displaystyle{ P}\) z powierzchnią \(\displaystyle{ f(x,y,z)=0}\)?
Pozdrawiam H.W.

[Crizz]

W żadnym wypadku.

Po pierwsze, o ile krzywa moze być opisana jako \(\displaystyle{ f(x,y,z)=0}\), np. \(\displaystyle{ x^{2}+y+z=0}\), to funkcja nie może mieć trzech parametrów w przestrzeni trójwymiarowej, bo jedna ze współrzędnych jest zarezerwowana dla zmiennej zależnej (możemy opisać np. powyższą krzywą jako wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=-x^{2}-y}\)).

Gradient funkcji \(\displaystyle{ f}\) w danym punkcie \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) to wektor \(\displaystyle{ \left[\frac{ \partial f}{ \partial x }(x_0,y_0),\frac{ \partial f}{ \partial y}(x_0,y_0)\right]}\). Ten wektor jest dwuwymiarowy, podobnie jak poziomica. Jak narysujesz na płaszczyźnie dana poziomicę i gradient, to gradient będzie po prostu normalny do poziomicy.

[hubertwojtowicz]

To mam jeszcze jedno pytanie.
Mam powierzchnię opisaną \(\displaystyle{ f(x,y,z)=0}\) i chcę w \(\displaystyle{ P_0(x_0,y_0,z_0)}\), takim,że \(\displaystyle{ f(x_0,y_0,z_0)=0}\) napisać wektor normalny \(\displaystyle{ N}\)do płaszczyzny stycznej. Jak wyznaczyć współrzędne N?

[Crizz]

W takim wypadku przepraszam, nie zrozumiałem, w jakim kontekście pytasz o gradient. W takim razie bierzemy gradient, ale rzeczywiście funkcji trzech zmiennych \(\displaystyle{ f(x,y,z)}\) (dla powierzchni opisanej równaniem \(\displaystyle{ f(x,y,z)=0}\)), czyli wektor \(\displaystyle{ \left[\frac{ \partial f}{ \partial x }(x_0,y_0,z_0),\frac{ \partial f}{ \partial y }(x_0,y_0,z_0),\frac{ \partial f}{ \partial z }(x_0,y_0,z_0)\right]}\) i wówczas ten wektor rzeczywiście jest normalny do płaszczyzny stycznej w punkcie \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\).

[hubertwojtowicz]

No i mam jasność
Dziękuję.