3 wektory i kąty między nimi vs. ortogonalizacja

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
rkaminski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 8 maja 2005, o 21:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

3 wektory i kąty między nimi vs. ortogonalizacja

Post autor: rkaminski »

Witam,

Otóż mam dane 3 wektory w przestrzeni 3D jako \(\displaystyle{ \left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right)}\). Nie są to bynajmniej wektory jednostkowe i nie leżą na jednej płaszczyźnie oczywiście. Tak dokładnie mam tylko podane ich długości (\(\displaystyle{ a,b,c}\)) i kąty między nimi, czyli np. kąt między \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\) to \(\displaystyle{ \gamma}\), między \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{c}}\) to \(\displaystyle{ \beta}\), a między \(\displaystyle{ \vec{b}}\) i \(\displaystyle{ \vec{c}}\) to \(\displaystyle{ \alpha}\).

Wymyśliłem sobie, że znajdę sensowne przekształcenie do układu kartezjańskiego kładąc \(\displaystyle{ \vec{a}}\) zgodnie z osią \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\) na płaszczyźnie \(\displaystyle{ XY}\). Wtedy \(\displaystyle{ \vec{c}}\) kieruje się gdzieś w przestrzeń. Odpowiednie współrzędne w kartezjańskim układzie współrzędnych dwóch pierwszych wektorów są następujące:

\(\displaystyle{ a_{x}=a\;\;\; a_{y}=a_{z}=0}\)

\(\displaystyle{ b_{x}=b\cos\gamma\;\;\; b_{y}=b\sin\gamma\;\;\; b_{z}=0}\)

Wymyśliłem, że składowa \(\displaystyle{ c_{x}}\) będzie wyglądać jako:

\(\displaystyle{ c_{x}=c\cos\beta}\)

Czy jest to dobrze i jak będą wyglądać wzory na pozostałe współrzędne (t.j. \(\displaystyle{ c_{y}}\) i \(\displaystyle{ c_{z}}\)) wyrażone za pomocą długości i kątów między tymi wektorami?

Z góry dzięki za pomoc i pozdrawiam,

Radek
ODPOWIEDZ