prosta w R3 przez pkt i równoległa do 2 płaszczyzn

[pawellll]

2. Znaleźć równanie prostej w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) przechodzącej
przez punkt \(\displaystyle{ P (2,3,1)}\) oraz równoległej do płaszczyzn:

\(\displaystyle{ \begin{cases}6x-y+z-2=0\\
x+3y-2z+1=0 \end{cases}}\)


Z góry dziękuje za pomoc !

[sebnorth]

Niech L będzie prostą wyznaczoną przez dane płaszczyzny. Przez K oznaczmy szukaną prostą, równoległą do płaszczyn a więc i do prostej L. Znajdziemy wektor w kierunkowy prostej L. To jest dokładnie wektor który jest iloczynem wektorowym wektorów \(\displaystyle{ n_{1}, n_{2}}\) normalnych do danych płaszczyzn.
\(\displaystyle{ w = n_{1} \times n_{2} = \left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\6&-1&1\\1&3&-2\end{array}\right| = (-1, 13, 19)}\)

Szukane równanie K przedstawimy np. w postaci parametrycznej

\(\displaystyle{ \begin{cases} x= x_{0} + w_{1} \cdot t \\ y = y_{0} + w_{2} \cdot t \\ z = z_{0} + w_{3} \cdot t \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x= 2 + w_{1} \cdot t \\ y = 3 + w_{2} \cdot t\\ z = 1 + w_{3} \cdot t \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x= 2 +(-1)} \cdot t \\ y = 3 + 13 \cdot t\\ z = 1 + 19 \cdot t \end{cases}}\)

Wektory kierunkowy prostych równoległych są takie same.