Równanie okręgu i prostej

[Parowka_Jedynka]

1.Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A=(-2,-1)}\) i równoległej do stycznej do okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=25}\) w punkcie \(\displaystyle{ M=(-3,4)}\)

2. Środek okręgu przechodzącego przez punkty \(\displaystyle{ A=(3,0)}\) i \(\displaystyle{ B=(-1,2)}\) należy do prostej o równaniu \(\displaystyle{ x-y+2=0}\).
a) znaleźć równanie okręgu
b)Wyznaczyć na okręgu taki punkt \(\displaystyle{ C}\) różny od \(\displaystyle{ A}\), że \(\displaystyle{ AC \perp AB}\)

Zrobiłem 1, chyba dobrze jest:
\(\displaystyle{ S(0,0), r=5}\)
\(\displaystyle{ k: y=ax+b}\) styczna do okręgu
\(\displaystyle{ M \in k \Rightarrow 4=-3a+b\\
b=-3a-4\\
y=ax-3a-4\\
ax-y-3a-4=0\\
A=a, B=-1, C=-3a-4\\\\
d(S,k)=r= \frac{|-3a-4|}{ \sqrt{a^{2}+1} } = \sqrt{ \frac{9a^{2}+24a+16}{a^{2}+1} } \\\\
\sqrt{ \frac{9a^{2}+24a+16}{a^{2}+1} }=5\\\\
\frac{9a^{2}+24a+16}{a^{2}+1} =25\\\\
25a^{2}+25=9a^{2}+24a+16\\
16a^{2}-24a-9=0\\
\Delta=576-576=0\\\\
a= \frac{24}{32} = \frac{3}{4} \\\\
k: y= \frac{3}{4} x-6 \frac{1}{4} \\\\
l || k \Rightarrow a _{1} =a_{2}\\\\
l: y= \frac{3}{4} x+b\\\\
-1=-6+b\\
b=5\\
l: y= \frac{3}{4} x+5}\)
\(\displaystyle{ l}\) szukana prosta-- 29 sty 2011, o 13:55 --Mam też drugie, ale tylko podpunkt a:

\(\displaystyle{ |SA|=|SB|\\
|SA|= \sqrt{(3-a)^{2}+b^{2}} = \sqrt{9-6a+a^{2}+b^{2}} \\
|SB|= \sqrt{(-1-a)^{2}+(2-b)^{2}}= \sqrt{1+2a+a^{2}+4-4b+b^{2}} \\
9+6a+a^{2}+b^{2}=1+2a+a^{2}+4-4b+b^{2}\\
4-4a-4b=0\\
1-a-b=0\\
b=1-a\\
S=(a, 1-a)\\
S \in k \Rightarrow a-1+a+2=0\\
2a=-1\\
a=- \frac{1}{2} \\
S=(- \frac{1}{2} ,1 \frac{1}{2} )\\\\
o: (x+ \frac{1}{2} )^{2}+(y-1 \frac{1}{2} )^{2}=r^{2}\\\\
B \in o \Rightarrow (-1+ \frac{1}{2} )^{2}+(2-1 \frac{1}{2} )^{2}=r^{2}\\\\
r^{2}=(- \frac{1}{2} )^{2}+( \frac{1}{2} )^{2}\\\\
r= \sqrt{ \frac{1}{2} } \\\\
r= \frac{ \sqrt{2} }{2} \\\\
o: (x+ \frac{1}{2} )^{2}+(y-1 \frac{1}{2} )^{2}= ( \frac{ \sqrt{2} }{2} )^{2}}\)

[Jan Kraszewski]

Ad 1. Źle. Dlaczego nie wpadłeś na pomysł, by sprawdzić rozwiązanie? Na Twojej prostej miał leżeć punkt \(\displaystyle{ A}\). Nie leży.

Ad 2. Źle. Jak wyżej, tym razem \(\displaystyle{ |SA|\neq|SB|}\). Przecież wystarczyłby ślad rysunku, by to zauważyć

Gdybyś wybrał prostszą drogę do celu, to byłaby większa szansa, że się nie pomylisz.

JK