Wyznaczyć pole równoległoboku

[hogix]

Wyznaczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach \(\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b}}\) jeśli \(\displaystyle{ \vec{a}= \vec{p}+2 \vec{q}}\), \(\displaystyle{ \vec{b}= \vec{q}-3 \vec{p}}\), \(\displaystyle{ \left| \vec{q} \right|=2}\), \(\displaystyle{ \left| \vec{p} \right|=3}\), a kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{p}}\) i \(\displaystyle{ \vec{q}}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\)

[xiikzodz]

Bez zmniejszenia ogólności możesz założyć, że \(\displaystyle{ \vec p=(3,0)}\) zaś \(\displaystyle{ \vec q=(\sqrt 2,\sqrt 2)}\). Wówczas \(\displaystyle{ \vec a=(3+2\sqrt 2,\:2\sqrt 2), \vec b=(\sqrt 2-9,\:\sqrt 2)}\). Stąd szukane pole wynosi:

\(\displaystyle{ \left|a_1b_2-a_2b_1\right|=\left|(3+2\sqrt 2)\cdot\sqrt 2-2\sqrt 2\cdot(\sqrt 2-9)\right|=}\)

\(\displaystyle{ =|3\sqrt 2+4-4+18\sqrt 2|=21\sqrt 2}\)

Aha, i jeśli dysponujemy pewną wiedzą geometryczną, to można zgrabniej:

Pole r-boku rozpiętego na \(\displaystyle{ \vec p,\vec q}\):

\(\displaystyle{ P=|\vec p||\vec q|\sin(\angle(\vec p,\vec q))=3\sqrt 2}\).

W bazie \(\displaystyle{ \vec p,\vec q}\) wektory \(\displaystyle{ \vec a,\vec b}\) mają współrzędne \(\displaystyle{ (1,2), (-3,1)}\) odpowiednio, zatem pole szukanego równoległoboku to:

\(\displaystyle{ |1\cdot 1-2\cdot(-3)|\cdot P=7\cdot 3\sqrt 2=21\sqrt 2}\).